概率统计习题解析：独立事件与贝叶斯公式应用

"概率与数理统计选做习题全解" 在概率与数理统计的学习中，解决此类问题的关键在于理解和应用概率论的基本原理，包括条件概率、独立事件、贝叶斯公式等。以下是题目的详细解答： 1. 题目涉及到的是条件概率和独立事件的概念。已知有5支枪，3支校正过，2支未校正，校正过的枪击中概率为[pic1]，未校正的枪击中概率为[pic2]。假设射击结果相互独立，求5次射击都未击中时使用的是校正过的枪的概率。首先，定义事件A为“5次射击均未击中”，事件B为“取得的枪是校正过的”。根据贝叶斯公式，我们有P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)，其中P(A|B)表示在使用校正过的枪情况下5次都不中的概率，P(B)表示取得校正过枪的概率，P(A)表示5次都不中的总概率。通过计算，可以得出使用校正过枪的概率。 2. 这道题目考察的是组合概率和条件概率。首先，确定每个人拿到二级品的概率，然后根据已知条件调整概率。对于第一部分，计算[pic3]未拿到二级品的概率；第二部分，已知[pic3]未拿到二级品，求[pic4]和[pic5]均拿到二级品的概率，这需要利用条件概率和组合计数；第三部分，求[pic4]和[pic5]均拿到二级品，而[pic3]未拿到二级品的概率，同样需要用到组合计数和条件概率。 3. 此题是关于串联系统的可靠性分析。系统[pic6]的输出取决于子系统[pic7]和[pic8]的输出，每个子系统的输入和输出具有一定的概率关系。要计算[pic9]端输入1而[pic10]端输出0的概率，可以将这个事件分解为两种不相容的情况：子系统[pic7]输入1输出1，子系统[pic8]输入0输出0；或者子系统[pic7]输入0输出0，子系统[pic8]输入1输出0。由于子系统独立工作，我们可以分别计算这两种情况的概率，并加和得到最终结果。 4. 最后一个问题涉及到博弈论和几何分布。甲乙两人轮流掷骰子，谁先掷出6点谁获胜。这是一个典型的停止时刻问题，可以用几何分布来描述每一轮投掷成功的概率。甲获胜的概率是他首次掷出6点的概率，而乙获胜的概率则是甲前n次未掷出6点，第n+1次乙掷出6点的概率之和。通过求解这个无穷序列的和，可以得出甲乙各自获胜的概率。 以上是题目的详细解答过程，涵盖了概率论中的多个重要概念和方法，包括条件概率、独立事件、贝叶斯公式、组合概率、系统可靠性分析以及几何分布。理解并掌握这些知识点是解决此类问题的关键。