MATLAB无约束优化算法实现：进退法、黄金分割与斐波那契法详解

MATLAB是一种广泛应用于科学计算和工程分析的高级编程语言，其中包含丰富的优化算法库，用于解决各种数学问题。本文将介绍几种在MATLAB中实现的一维无约束极值问题的优化算法：进退法（Bisection Method）、黄金分割法（Golden Section Search）和斐波那契法（Fibonacci Search）。 1. **进退法**（Bisection Method）： 进退法是通过不断缩小搜索区间来逼近极小值的一种简单且基础的算法。函数`minJT`定义了一个递归过程，通过比较函数值在区间的两端，每次将区间减半直到找到满足精度要求的最小值。此方法适用于连续可微函数，但收敛速度相对较慢。 2. **黄金分割法**（Golden Section Search）： 黄金分割法利用黄金比例（约为1.618）来分割搜索区间，寻找局部最优解。`minHJ`函数中，通过反复比较中间点（`l`和`u`）与区间的端点函数值，逐步调整搜索范围，直到达到预设精度或达到最大迭代次数。这是一种比进退法更快收敛的算法，尤其是在函数具有局部凸性时。 3. **斐波那契法**（Fibonacci Search）： 斐波那契法结合了递归思想和黄金分割比例，它不是简单地二分搜索，而是根据斐波那契数列来决定分割点。`minFBNQ`函数中，通过计算当前迭代步数对应的斐波那契数，将区间分为子区间，然后评估函数在这些子区间的端点，选择下一个搜索位置。这种方法对于函数具有周期性或局部线性特征的情况较为有效。 在实际应用中，选择哪种方法取决于问题的具体特性，比如函数的光滑度、搜索区域的大小以及所需的精度。MATLAB提供了更高级的优化工具箱，如`fminunc`（无约束优化）、`fmincon`（带有约束的优化）等，它们基于梯度下降、拟牛顿法等更复杂的算法，能够处理更复杂的问题。了解并掌握这些基本的优化算法有助于理解更高级工具的工作原理，并在特定场景下选择最合适的求解策略。