"这篇资源主要涉及的是高等数学的基础知识,包括函数与极限的概念,以及与集合相关的定义和运算。此外,还提到了有理函数和三角函数有理式的积分问题,适用于考研复习。"
在数学中,函数与极限是高等数学的基础。函数是一个规则,它将一个集合(定义域)中的每个元素映射到另一个集合(值域)中的唯一元素。极限则是研究函数在某一点附近的行为,即当自变量接近某一特定值时,函数值趋于何值。在实际应用中,极限理论帮助我们理解和解决连续性、导数和积分等问题。
在高等数学的基础部分,我们首先接触的是集合的相关概念。集合的定义要求其元素是确定且互异的。例如,自然数集N、正整数集N+、整数集Z、有理数集Q和实数集R都是重要的数集。集合可以用列举法或描述法表示,前者直接列出集合的所有元素,后者通过元素的共性描述集合。集合间的常见关系包括子集、相等、真子集和空集。子集是其中一个集合的所有元素都包含在另一个集合中;相等集合的元素完全相同;真子集除了自身外,还包含至少一个不在另一个集合内的元素;空集不含任何元素,它是任何集合的子集。
集合的运算主要包括并集和交集。并集A∪B包含了A和B中的所有不同元素,而交集A∩B仅包含同时属于A和B的元素。此外,差集A\B表示所有属于A但不属于B的元素,而对称差集AΔB是属于A或B但不同时属于两者的所有元素的集合。
接着,资源提到了有理函数的积分。有理函数是两个多项式的商,可以分为真分式(分子的最高次幂小于或等于分母的最高次幂)和假分式(分子的最高次幂大于分母的最高次幂)。积分时,假分式需要通过多项式除法转换为真分式和多项式之和的形式。例如,解积分问题时,可能需要将有理函数分解为更简单的部分以便积分。
最后,三角函数的有理式积分也是考研数学的重点。这类函数是三角函数(如正弦、余弦等)与常数的组合,通过四则运算构建。解决这类积分问题需要熟悉三角恒等变换和代换法则。
这篇资源为准备考研的学生提供了高等数学基础知识点的复习材料,涵盖了函数、极限、集合以及有理函数和三角函数有理式积分的基础知识。这些内容是进一步学习微积分、线性代数等高级数学课程的基础。