数值分析习题解析：牛顿法、迭代收敛性与插值

"这是一份关于数值分析的解答集，包含了2013年武汉理工大学计算机学院数值分析课程的部分思考题答案。内容涵盖了Newton法的收敛性分析、迭代法的收敛性判断、插值问题、代数精度的定义及其计算、数值积分的求解以及Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的应用和收敛性讨论。" 本文主要讨论了数值分析中的多个关键知识点： 1. **Newton法**：Newton法是一种用于求解方程的迭代方法。在题目中，Newton法的局部收敛性被分析，说明当初始猜测接近真实根时，该方法能够收敛。公式展示了如何构造迭代函数，并应用微分中值定理证明收敛性。 2. **迭代法的收敛性**：通过分析不同迭代函数，如和，确定了它们的收敛或发散性质。例如，对于某些特定的迭代函数，可以判断出迭代格式是否收敛，这依赖于函数的性质和选择的初始值。 3. **插值问题**：插值是数值分析中的重要概念，用于寻找多项式函数来逼近给定的数据点。题目中通过拉格朗日插值或牛顿插值法求解三次多项式，并计算插值余项，揭示了插值误差与多项式次数的关系。 4. **代数精度**：代数精度衡量了数值积分公式对低阶多项式的精确度。通过设定特定的多项式，计算出给定求积公式的代数精度，例如在题目中，通过比较公式对不同次数多项式的处理，确定了其具有三次代数精度。 5. **数值积分**：复化Simpson公式是一种高精度的数值积分方法，用于近似求解函数的定积分。通过选取合适的步长，可以计算出精确的结果，并讨论了算法的合理性。 6. **迭代法在线性系统求解中的应用**：Jacobi和Gauss-Seidel迭代法是求解线性系统的常用方法。题目分析了这两种方法的迭代矩阵，讨论了它们的特征方程，从而判断了它们的收敛性。严格对角占优阵的特性保证了这两种迭代法的收敛性。 这些内容反映了数值分析课程的核心概念，包括非线性方程求解、插值理论、数值积分和线性系统的迭代解法，这些都是数值计算中不可或缺的基础知识。