MATLAB实现牛顿插值法与函数逼近

"牛顿插值法matlab.doc" 牛顿插值法是一种在数值分析中用于构造多项式，使得这个多项式在特定的离散点上精确匹配给定的函数值的方法。这种方法由数学家艾萨克·牛顿提出，主要用于函数的近似和数据插值。在MATLAB中实现牛顿插值法可以帮助我们更好地理解和应用这一理论。 1. 牛顿插值法的基本思想 牛顿插值法的核心在于构建插值多项式，它通过计算函数的差商来简化计算过程。差商是函数在两点或更多点之间的局部平均斜率，其定义为[pic]，其中[i]是函数的阶数，[x]和[x + h]是两个相邻的自变量值。牛顿插值多项式采用递归的形式，使得在增加插值点时，仅需计算新的差商，而无需重新计算所有之前的差商。 2. 牛顿插值公式 牛顿插值公式可以表示为[pic]，其中[pic]是函数在点[x0, x1, ..., xn]上的值，[D]是差商矩阵，[c]是系数向量。通过计算所有阶的差商，我们可以得到系数[c]，进而构建出牛顿插值多项式。 3. MATLAB程序设计 在MATLAB中实现牛顿插值通常包括以下步骤： a. 计算差商：使用`diff()`函数计算一阶差商，然后通过循环计算更高阶的差商并存储在数组[C]中。 b. 构建差商矩阵[D]：根据牛顿插值公式，利用循环构建差商矩阵。 c. 求解系数[c]：通过矩阵运算找到多项式的系数。 d. 使用`polyval()`函数评估插值多项式：给定自变量值，计算相应的函数值。 e. 绘制插值曲线：使用`plot()`函数绘制插值多项式和原始函数的图形，以便比较和分析。 4. 插值点的选择 在实际应用中，插值点的选择会影响插值效果。本例中提到了两种分点方式： - 增加分点数目：通过增加插值点的数量，提高插值多项式的次数，从而更精确地逼近原函数。 - 插入切比雪夫点：切比雪夫点是根据切比雪夫多项式选择的特殊点，它们能在最大误差意义下优化插值效果。 5. 结果分析 通过程序计算和绘制的结果，我们可以观察到随着插值点的增加，插值多项式对给定函数的逼近程度如何变化。同时，比较不同插值点下的插值曲线，可以深入理解多项式插值方法的局限性和适用性，例如插值的振荡现象、Runge现象等。 牛顿插值法在MATLAB中的实现是一个有效的工具，它帮助我们处理离散数据，进行函数近似，并通过图形化的方式直观地理解多项式插值的过程和效果。