多边形游戏与动态规划解法-NOIP夏令营讲稿

"多边形游戏是一个基于动态规划的编程挑战，目标是计算一个多边形在逐步变换后的最高得分，并找出首次获得最高分时删除的边的编号。动态规划是一种解决多阶段决策问题的方法，通过逐步构建最优解来达到目标。在游戏过程中，玩家每次选择一条边并用新顶点替换它，新顶点的值是原两端顶点值通过边上的运算符号运算得出的结果。最后，所有的边都将被删除，顶点上的数值即为游戏得分。" 在这个问题中，动态规划的应用体现在计算多边形游戏的最高得分。首先，我们需要理解动态规划的核心思想，即通过将复杂问题分解成一系列子问题，然后自底向上或自顶向下地求解，以找到全局最优解。在多边形游戏中，我们可以将每一步操作看作一个阶段，每个阶段的决策（选择哪条边进行操作）会影响到后续阶段的得分。 动态规划的基础题型通常包括背包问题、最长公共子序列、最短路径等。对于多边形游戏，我们可以设置一个二维数组dp，其中dp[i][mask]表示在前i步操作中，采用mask标志的边删除策略所能达到的最高得分。mask是一个二进制数，每一位对应着一条边，如果位为1，则表示这条边已经被删除。 在解决这个问题时，我们需要遍历所有可能的边删除顺序，并计算每一步操作后的新顶点值，更新dp数组。具体步骤如下： 1. 初始化dp数组，dp[0][0]表示没有任何边被删除的情况，其得分是多边形原始顶点的值之和。 2. 对于第i步操作（i>0），枚举可能删除的边mask，检查每条未被删除的边j，计算新顶点的值，更新dp[i][mask]。 3. 在每一步操作中，我们需要保留当前状态下能获得的最高得分。 4. 最后，dp[n-1][all_edges_mask]将包含最高得分，其中all_edges_mask表示所有边都被删除的情况。 在求解过程中，还需要记录达到最高得分的边删除顺序。可以使用回溯或辅助数据结构（如栈或队列）来跟踪每一步的最优操作。一旦找到最高得分，我们可以通过反向回溯找到首次达到这个分数时删除的边的编号。 动态规划在多边形游戏中起着关键作用，它帮助我们系统地解决复杂问题，寻找全局最优解。通过对不同阶段的决策进行建模，我们可以有效地计算出最高得分并找到最佳操作序列。