ACM竞赛精选题目解析：质因数与约数问题

"这篇文档包含了作者在参与ACM算法竞赛过程中收集的一些优质题目和有趣问题，旨在供读者在空闲时复习和练习。文档中涵盖了数论、算法和程序设计等多个方面的内容。" 1. 题目1涉及到的是最大公约数（GCD）和数的约数个数。问题提出A和B都是由3和5的质因数组成，最大公约数为75。通过分析，我们可以得知A和B都可以表示为3的幂次乘以5的幂次的形式。由于A有12个约数，B有10个约数，可以利用约数个数的计算公式（每个质因数的指数加1后的乘积）来确定A和B的具体形式。最终得出A为675，B为1875，它们的和为2550。 2. 题目2讨论的是具有奇数个约数的自然数，通常这些数是完全平方数。要找出在360到630之间有奇数个约数的数，我们需要找到这个区间内的完全平方数。完全平方数的约数个数等于其质因数指数加1后的乘积，如果这个乘积为奇数，则该数有奇数个约数。通过计算，我们发现361, 400, 441, 484, 529, 576, 和 625 是这个区间内的完全平方数，因此它们是有奇数个约数的数。 3. 题目3涉及分数的最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）。对于一组分数，求它们的最小公倍数的方法是将所有分数化为最简形式，然后取分子的最小公倍数作为新分数的分子，取分母的最大公约数作为新分数的分母。类似地，求最大公约数时，也要先化简分数，但这次是取分子的最大公约数作为结果的分子，取所有分母的最小公倍数作为结果的分母。 这些题目展示了ACM竞赛中常见的问题类型，包括数论、因数分析和最简形式转换，这些都是解决算法竞赛问题时必备的技能。通过对这些问题的解答，参赛者能够提升对数论概念的理解，加强逻辑思维能力和算法实现能力。同时，这样的练习也有助于准备其他类型的程序设计竞赛。