"插值与逼近方法详解：多项式、正交函数、三次样条插值及最小二乘法应用"。

5.1 引言 本节主要介绍插值方法中的多项式插值方法。插值方法是数值分析中的一个简单而又重要的方法，利用该方法可以通过函数在有限个点处的函数值求出其近似函数，进而估算出函数在其它点处的值。插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、数值微分、数值积分、曲线与曲面的生成等方面有重要的应用。 5.1.1 插值问题 构造一个简单易算的函数，使其满足下述条件：设已知函数在R上n个互异点处的函数值和导数值， 即给定点和导数值中要完成插值。 这在实际生活中应用广泛,比如根据5年的销售数据预测2017年的销售额，就是实际数据和销售额之间的插值。 5.2 多项式插值 5.2.1 Lagrange插值公式 Lagrange插值法是在数值计算中常应用的插值方法之一，它是典型的多项式插值方法之一。Lagrange插值法的基本思想是通过构造n次拉格朗日插值多项式来实现函数值的求解。 5.2.2 Newton插值公式 Newton插值法是另一种常用的插值方法，在实际计算中也有着广泛的应用。该方法通过构造Newton插值多项式来实现函数值的估计。 5.2.3 插值余项 插值余项是在插值计算中的一个重要概念，用于评估插值方法的精度和误差。通过对插值余项的分析，可以更好地理解插值方法的优劣。 5.2.4 Hermite插值 Hermite插值是一种基于函数值和导数值的插值方法，通过构造Hermite插值多项式来实现更精确的插值结果。 5.2.5 分段低次插值 分段低次插值是一种在实际计算中常用的插值方法，通过将函数分段进行低次插值来实现更高效的计算结果。 5.3 三次样条插值 三次样条插值是一种在曲线拟合和数据处理中常用的插值方法，通过构造三次样条函数来实现对函数的逼近和插值。 5.5 正交函数族在逼近中的应用 正交函数族在逼近中有着广泛的应用，可用于函数的最佳平方逼近、数据拟合的最小二乘法等方面。正交多项式的特性使其在逼近计算中具有较高的精度和稳定性。 综上所述，插值方法在数值计算中有着重要的应用价值，能够帮助实现对函数值的准确估算和逼近。通过对不同插值方法的比较和分析，可以选择合适的插值方法来解决实际计算问题，提高计算效率和精度。在未来的数值计算领域，插值方法将继续发挥重要作用，为实际问题的求解提供有力支持。