径向基函数驱动的轴对称Poisson方程Trefftz有限元求解策略

本文探讨了轴对称Poisson方程的Trefftz有限元解法，发表于2015年的《应用数学和力学》期刊，由刘博、王克用和王明红三位作者合作完成。轴对称Poisson方程在各种物理现象中扮演重要角色，如热传导、渗流等，但传统数值方法如有限元法和边界元法在处理含有非零源项的问题时会遇到挑战。 Trefftz有限元方法的独特之处在于其结构的简洁性，它能够避免网格畸变的影响，并且多边形单元的构造更为方便。TFEM的核心思想是利用辅助网线位移场或面力场来构建单元内的位移场，这个位移场不仅精确满足Poisson方程的控制方程，而且可以表示为齐次方程的特解和截断完备解的组合。然而，对于非齐次方程，即含有非零右端项的Poisson方程，传统的Trefftz插值函数并不适用。 本文的主要贡献是提出了一种新的计算格式，通过径向基函数(RBF)技术处理非零右端项带来的问题。径向基函数在逼近特解时，消除了导致单元刚度方程中区域积分的出现，保留了Trefftz方法仅包含边界积分的优点。这种方法的关键在于选择求解域内所有单元的节点和形心作为基本插值点，并在求解域外构造虚拟边界，额外设置虚拟点作为插值点，以此获取特解。 作者们通过数值算例验证了这种方法的有效性和可行性，展示了径向基函数在处理非齐次轴对称Poisson方程中的实用价值。论文的关键词包括轴对称Poisson方程、Trefftz有限元法、径向基函数以及完全椭圆积分，中图分类号为O242.21和O242.82，文献标志码为A，DOI为10.3879/j.issn.1000-0887.2015.02.003。 总结来说，这篇论文提供了一种创新的Trefftz有限元解法，适用于轴对称Poisson方程的非齐次情况，为该领域的数值模拟提供了有效且高效的工具。这种方法在保持Trefftz方法优点的同时，成功地克服了非零源项带来的挑战，为实际工程问题的求解开辟了新途径。