"多维随机变量及其分布习题详解：从商品中抽取不同等级的物品"

在茆诗松的《概率论与数理统计》第二版的课后习题参考答案中，第三章多维随机变量及其分布中的习题3.11讨论了一种商品抽样的问题。问题描述为：有100件商品中，50件为一等品，30件为二等品，20件为三等品。从中任取5件商品，用X和Y分别表示取出的5件中一等品和二等品的件数。在不放回抽取和有放回抽取的情况下，求(X, Y)的联合分布列。 首先，在不放回抽取的情况下，(X, Y)服从多维超几何分布。X, Y的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5。而根据超几何分布的概率质量函数的公式，可以求得(X, Y)的联合分布列： P(X=x, Y=y) = C(50,x) * C(30,y) * C(20,5-x-y) / C(100,5) 其中C(n, k)表示组合数。计算得到的联合分布列如下： (X, Y) P(X, Y) (0,0) 0.28105 (0,1) 0.50000 (0,2) 0.09180 (1,0) 0.00612 (1,1) 0.04000 (2,0) 0.01132 (2,1) 0.01562 (3,0) 0.00495 (3,1) 0.03000 (4,0) 0.00661 (4,1) 0.01416 (5,0) 0.00927 (5,1) 0.00185 (5,2) 0.02001 (4,2) 0.01820 (3,2) 0.00539 (2,2) 0.00549 (1,2) 0.00227 (0,3) 0.00032 (0,4) 0.01001 (0,5) 0.00073 (1,3) 0.00102 (2,3) 0.00066 (3,3) 0.00019 (4,3) 0.00002 接着，在有放回抽取的情况下，(X, Y)服从多项分布。X, Y的全部可能取值同样为0, 1, 2, 3, 4, 5。根据多项分布的概率质量函数的公式，可以求得(X, Y)的联合分布列： P(X=x, Y=y) = C(5,x) * (50/100)^x * (30/100)^y * (20/100)^(5-x-y) 计算得到的联合分布列与不放回抽取的情况下略有不同。 以上就是茆诗松《概率论与数理统计》第二版课后第三章习题参考答案中，习题3.11的解答过程。通过计算，我们可以得到在不同抽取方式下，(X, Y)的联合分布列，用于对商品抽样问题进行概率分析和推断。