"ACM经典题型解析：动态规划总结与Pku acm 1163题解"

ACM动态规划总结 动态规划（Dynamic Programming, DP）是一种通过将问题分解为重叠子问题并使用子问题的解来求解原问题的方法。在ACM竞赛中，动态规划经常被用来解决一些复杂的问题，其核心思想是将大问题划分为小问题，并找到它们之间的关系，通过求解小问题得到最优解。本文将对ACM动态规划进行总结，并分析一些经典题型的解法。 首先，我们来分析一道经典的动态规划题目，题目编号为Pku acm 1163，即"The Triangle"，题目描述为：给定一个由数字组成的二叉树，求由叶子到根的一条路径，使得路径上数字之和最大。例如，给定以下二叉树： 7 / \ 8 1 / \ / \ 0 2 7 / \ / \ / \ 4 5 2 6 / \ / \ / \ / \ 5 8 3 6 4 我们需要找到从叶子节点到根节点的一条路径，使得路径上数字之和最大。这个问题可以通过动态规划算法来解决。 首先，我们定义一个二维数组number，大小与二叉树的高度相同。number[i][j]表示从叶子节点到第i行第j列节点的路径上数字之和的最大值。我们从二叉树的倒数第二行开始，从底向上依次计算每个节点的最大值。具体的动态规划算法如下： for(int i=num-2;i>=0;i--){ for(int j=0;j<=i;j++{ number[i][j]=Math.max(number[i+1][j],number[i+1][j+1])+number[i][j]; } } 其中，num表示二叉树的高度。在这个算法中，我们首先从倒数第二行开始，从左到右依次计算每个节点的最大值。对于每个节点，我们可以选择从左子节点到达它，或者选择从右子节点到达它，我们需要选择其中路径和最大的那个，并将该值加上当前节点的值。最终，我们得到的number[0][0]即为所求的最大路径和。 这个算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为二叉树的高度。空间复杂度也为O(n^2)，因为需要存储二维数组number。在实际运行中，这个算法的时间复杂度和空间复杂度都是可以接受的。 除了以上所述的基础动态规划问题外，ACM中还存在其他一些经典的动态规划题型，例如背包问题、最长公共子序列等。这些题目的解法基本上也是通过动态规划的思想来求解的，只是具体的实现方式可能有所不同。 在解决动态规划问题时，我们需要注意以下几个方面： 1. 定义好状态和状态转移方程。状态通常是问题的某个维度，例如在"The Triangle"问题中，状态可以定义为从叶子节点到第i行第j列节点的路径上数字之和的最大值；状态转移方程则定义了如何从子问题求解当前问题。 2. 确定好初始条件和边界条件。在动态规划中，初始条件通常是最简单的问题的解，边界条件则是问题的边界情况，例如二维数组中的第一行和第一列。 3. 优化空间复杂度。在实际运行中，我们可以通过滚动数组等技巧来减少所需的额外空间，从而优化空间复杂度。 4. 使用备忘录。对于一些由于重叠子问题而造成重复计算的情况，我们可以使用备忘录来记录已经计算过的子问题的解，从而避免重复计算，提高效率。 总之，动态规划是ACM竞赛中常用的求解复杂问题的方法之一。通过将大问题划分为小问题，并找到它们之间的关系，我们可以通过求解子问题来得到最优解。在解决动态规划问题时，我们需要合理地定义状态和状态转移方程，确定好初始条件和边界条件，并根据实际情况进行空间优化。通过不断练习和总结，我们可以掌握动态规划的技巧，提高解题能力。