欧拉公式与图论应用：平面图、多面体与ACM/ICPC竞赛

正多面体-communication systems_haykin 在图论与通信系统的研究中，正多面体是一种重要的概念，尤其是在算法理论的应用中。正多面体是三维空间中具有规则对称性的多面体，它们的每个面都是相同的简单多边形。在图论中，平面图与极大平面图的关系被深入探讨，如定理9.5提到的对偶图性质，即对偶图G*的顶点数n*等于原图G的区域数r，边数m*等于m，且对偶图中顶点的度数等于原图中对应区域的度数。 欧拉公式是图论的核心内容之一，由数学家欧拉在研究凸多面体时发现，该公式表明凸多面体的顶点数减去棱数再加上面数总是等于2。这个规律不仅适用于凸多面体，也被推广到连通平面图中，即定理9.6的欧拉公式（n – m + r = 2），这对于计算平面图的特征如顶点数、边数和区域数非常有用。对于非连通的平面图，如具有k个连通分支的图，有推广的欧拉公式（n – m + r = k + 1），进一步拓展了这个定理的应用范围。 本书《图论算法理论、实现及应用》详细介绍了图论的基础概念，包括邻接矩阵和邻接表两种图的存储表示方法，以及一系列关键问题的讨论，如图的遍历、活动网络、树与生成树、最短路径、可行遍性、网络流、各种集合理论（如点支配集、点覆盖集、点独立集等）、图的连通性、平面图与图着色问题等。作者王桂平、王衍和任嘉辰以ACM/ICPC竞赛题目为例，让读者深入理解图论算法的设计思想和编程实现技巧，适合用作计算机科学特别是图论课程的教学材料，也可以作为竞赛选手的训练参考书。 图论作为一门基础而实用的数学分支，其研究和教学的重要性在于它能够抽象描述现实世界中的复杂关系，如网络连接、城市交通、社交网络等。通过理解欧拉公式和相关定理，学生可以掌握解决这些问题的关键方法，为今后在计算机科学领域，尤其是在算法设计和优化上打下坚实的基础。同时，对于实际问题的处理，如图的搜索策略、优化问题求解，都需要深入理解和熟练运用图论原理。