图的存储结构：相邻矩阵与图理论基础

"图的存储结构-图及其应用" 在计算机科学中，图是一种重要的数据结构，用于表示对象之间的关系。图由顶点（或节点）的集合和边（或连接）的集合组成，通常表示为G=(V,E)，其中V是顶点集，E是边集。本篇将详细讨论图的存储结构，特别是图的相邻矩阵表示法。 一、图的基本概念 1. 图的定义：图G=(V,E)是由顶点集V和边集E构成的二元组。顶点代表抽象的对象，边则表示顶点之间的关系。 2. 无向图与有向图： - 无向图：边没有方向，即如果顶点a与b之间有一条边，那么b与a之间也有一条边。无向图的边通常不带箭头。 - 有向图：边有方向，从一个顶点指向另一个顶点。在有向图中，边用带箭头的线表示。 3. 顶点的度：在无向图中，顶点的度是指与其相连的边的数量；在有向图中，顶点的度是入度（以该顶点为终点的边数）与出度（以该顶点为起点的边数）之和。 4. 路径与连通集：路径是图中从一个顶点到另一个顶点的一系列连续边，连通集是图中可以通过路径相互到达的所有顶点的集合。 5. 简单路径与回路：简单路径是除了起点和终点可能相同外，其他顶点都不同的路径；回路（或环）是起点和终点相同的简单路径。 二、图的存储结构：相邻矩阵 图的相邻矩阵是一种常用的数据结构，用于表示图中顶点之间的邻接关系。对于一个具有n个顶点的图G，其相邻矩阵是一个n×n的二维数组A[i][j]，其中： - A[i][j]=1（或边的权值）表示顶点i和顶点j之间有边相连。 - A[i][j]=0表示顶点i和顶点j之间没有边。 例如，一个无向图G1的相邻矩阵可能如下所示，表示顶点之间的连接情况： ``` | V1 | V2 | V3 | V4 | --------------------- V1| 0 | 1 | 0 | 1 | V2| 1 | 0 | 1 | 0 | V3| 0 | 1 | 0 | 1 | V4| 1 | 0 | 1 | 0 | ``` 而在有向图G2中，相邻矩阵可能如下，表示每个顶点的出度和入度： ``` | V1 | V2 | V3 | V4 | --------------------- V1| 0 | 0 | 1 | 1 | V2| 0 | 0 | 0 | 1 | V3| 1 | 1 | 0 | 1 | V4| 0 | 0 | 1 | 0 | ``` 相邻矩阵对于表示稠密图（即顶点之间连接较多的图）非常有效，因为它能直接反映出任意两个顶点之间是否存在边。然而，对于稀疏图（顶点之间连接较少的图），相邻链表或邻接表等其他数据结构可能会更节省空间。 总结来说，图的相邻矩阵是一种直观且易于操作的图存储方式，尤其适用于处理需要快速查询任意两个顶点之间关系的情况。但在实际应用中，应根据图的特点选择最合适的存储结构，以优化时间和空间效率。