数值分析：误差与稳定性

"数值分析期中复习，涵盖了误差分析、有效数字、截断误差、舍入误差、精度损失、稳定性、四则运算的误差传播以及不动点迭代等核心概念，适用于软件工程领域的数值计算理解。" 在数值分析中，误差分析是至关重要的，它涉及到计算结果与真实值之间的差距。主要的误差类型包括绝对误差和相对误差。绝对误差（Absolute Error）是指实际值与近似值之间的差值，即Ep=p–p。相对误差（Relative Error）则是这个差值与实际值的比例，即Rp=Ep/p，它能更好地衡量误差的相对大小。此外，有效数字（Significant Digits）表示数值中可以信赖的数字位数，反映了数值的精度。有效数字的计算通常考虑误差限和第一个非零数字的位置。 截断误差（Truncation Error）源于在实际计算中对无穷过程的有限化处理，例如在级数展开或迭代过程中只保留有限项。这会导致结果与理想解之间产生误差。而舍入误差（Roundoff Error）则是在数字表示或计算过程中由于舍入规则引起的误差，它与计算机硬件和算法实现有关。精度损失（Loss of Significance）是当非常接近的两个数相减时，可能会导致低精度的结果，这是数值计算中应避免的情况。 在四则运算中，误差会如何传播？加法和乘法的误差传播公式揭示了这一点。加法时，误差等于两数误差之和；乘法时，误差近似等于两数相对误差之和。除法的误差传播更为复杂，需要更深入的分析。 非线性方程的求解是数值分析的另一个关键领域，不动点迭代法是一种常用的方法。不动点（Fixed Point）是函数g(x)的值等于x的点，即g(x)=x。通过迭代公式g(x_n+1)=g(x_n)可以逐步逼近方程的根。不动点定理保证了在满足一定条件（如g(x)连续且为压缩映射）的情况下，不动点迭代法能够收敛并找到唯一的解。压缩映射是指函数值域的长度小于其定义域长度，确保了迭代过程的收敛性。 总结来说，这个资料提供了数值分析的基础知识，包括误差分析、精度管理以及非线性方程的求解策略，这些都是软件工程中进行数值计算时必须掌握的关键概念。