虚节点法：提高多边形有限元法精度的新途径

"基于虚节点的多边形有限元法 (2009年) - 这篇文章探讨了一种新的计算方法，即虚节点法，它在处理弹性力学问题时能够提高计算精度，尤其是在复杂的几何条件和网格生成困难的情况下。虚节点法是基于单位分解理论的多边形有限元法，其优势在于采用多项式形式，减少了积分误差。通过数值实验，该方法被证明在分片实验中优于传统方法，如Wachspress法和mean value法。在相同节点数下，虚节点法在收敛性试验中的表现也超过了三角形一次单元。此外，文中还介绍了虚节点法在断裂力学中的应用，如计算应力强度因子和模拟裂纹扩展，并讨论了基于多边形单元的网格重划分和加密技术。" 文章详细阐述了虚节点法的理论基础和优点。虚节点法由唐旭海等人提出，它不再依赖于传统的非多项式基函数插值，而是利用单位分解理论构建多项式形式的形函数。这种方法能够有效地降低积分误差，这是传统多边形有限元法的一大挑战。Wachspress法和mean value法虽然也能处理任意边数的多边形，但它们的非多项式特性使得积分处理相对复杂，而虚节点法的出现解决了这一问题。 数值实验部分展示了虚节点法的优越性。在分片实验中，它提供的数值结果比Wachspress法和mean value法更准确。此外，通过比较虚节点法与三角形一次单元的收敛性，结果显示在相同节点数量下，虚节点法的计算精度更高。这意味着在处理复杂的几何结构和网格时，虚节点法具有更高的效率和准确性。 虚节点法不仅在常规计算中有优秀表现，还在断裂力学领域显示出潜力。通过应用虚节点法，可以更精确地计算应力强度因子，这对于理解和预测材料的裂纹扩展至关重要。同时，结合多边形单元的网格重划分和加密技术，能够进一步优化求解过程，提升模拟裂纹扩展的精确度。 基于虚节点的多边形有限元法是一种创新的数值计算方法，它在处理复杂几何形状和弹性力学问题时，表现出高精度和网格适应性。这项工作对于推动有限元分析技术的发展，特别是在解决实际工程中的困难问题，如断裂力学分析，具有重要的理论和实践意义。