线性回归分析：相关系数r与判定系数R²解析

线性回归分析是一种统计方法，用于研究两个或多个变量之间的关系，特别是预测一个连续变量（因变量）如何随着另一个或多个连续变量（自变量）的变化而变化。相关系数r是衡量这种线性关系强度的重要指标。 相关系数r的计算公式是： \[ r = \frac{\sum{(Xi - X\text{平均数})(Yi - Y\text{平均数})}}{\sqrt{\sum{(Xi - X\text{平均数})^2} \cdot \sum{(Yi - Y\text{平均数})^2}}} \] 这里的r值范围在-1到1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有线性相关。值越接近±1，表示变量间的线性相关性越强。如果r接近0，意味着变量间的关系较弱或不存在线性关系。 判定系数R^2，也称为拟合优度或可决系数，是相关系数平方的另一种形式，表示模型解释了因变量变异的百分比： \[ R^2 = \frac{ESS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS} \] 其中，ESS（解释平方和）是模型预测的误差平方和，TSS（总平方和）是所有数据点与整体均值之差的平方和，RSS（残差平方和）是模型不能解释的误差平方和。R^2越接近1，模型拟合得越好。 然而，在实际应用中，单纯增加解释变量可能导致R^2增大，但并不意味着模型的解释能力增强。为了解决这个问题，引入了调整的判定系数R^2_1： \[ R^2_{adj} = 1 - \frac{RSS/(n-k-1)}{TSS/(n-1)} \] 这里，n是样本数量，k是自变量的数量。调整后的R^2_1考虑了自变量数量对拟合优度的影响，避免了因增加无用变量而导致的R^2虚增。 线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。一元线性回归仅有一个自变量，而多元线性回归涉及两个或更多自变量。回归系数表示自变量对因变量影响的大小和方向，每个自变量都有一个对应的回归系数。 线性回归方程通过相关系数r和判定系数R^2（及其调整形式R^2_1）来评估变量间的线性关系和模型的拟合质量，帮助我们理解数据并进行预测。在分析时，应综合考虑这些统计量，以确保建立的模型既具有解释力，又不会过度拟合数据。