数值计算实验：雅可比与高斯-赛德尔迭代解线性方程组

"线性方程组的迭代法是数值计算中解决线性系统的一种方法，通常用于处理大型稀疏矩阵。实验7主要涉及两种迭代法——雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，旨在让学生掌握这两种方法的计算步骤和编程实现。实验报告需要包含程序代码和运行结果的截图。" 在数值计算中，线性方程组的迭代法是一种有效且实用的求解策略，尤其适用于处理具有大量零元素的矩阵，即稀疏矩阵。这种方法通过不断地更新解向量来逐步逼近真实解，直到满足预设的终止条件，如误差阈值或迭代次数。 **雅可比迭代法** 是基于分块迭代的思想，它将矩阵A分解为对角部分D和非对角部分N，即 A = D - N。迭代公式可以表示为：x^(k+1) = D^(-1) * (b - N * x^k)，其中D是对角矩阵，N是非对角矩阵，x^(k)和x^(k+1)分别是第k步和第k+1步的解向量。在给定的C语言代码示例中，程序通过循环计算每个元素，更新解向量，并检查误差是否小于预设阈值e，以判断是否停止迭代。 **高斯-赛德尔迭代法** 是雅可比迭代法的改进版，它在同一轮迭代中利用了新解的信息，使得收敛速度通常更快。迭代公式为：x_i^(k+1) = (1/d_i) * (b_i - Σ_j(A_ij * x_j^(k+1)) + Σ_j(A_ij * x_j^k))，其中d_i是A的对角元素，Σ_j是沿着非对角线的求和。在C++代码片段中，用户需要输入精度要求、矩阵的行数和列数，然后程序会提示输入系数矩阵，进而执行迭代过程。 这两种迭代法在实际应用中都需要考虑收敛性问题，即如何确保迭代序列会收敛到线性方程组的真实解。对于迭代法的收敛性，通常需要满足矩阵的某些性质，如矩阵的条件数、对角占优等。在实验报告中，学生不仅需要展示程序代码和运行结果，还应分析迭代过程中的误差变化和收敛速度，以加深对迭代法的理解。 在进行实验时，学生需要熟悉一种或多种编程语言，如C、C++或Python，以实现这两种迭代算法。调试程序是确保算法正确性的重要环节，通过运行结果的可视化，可以直观地验证算法的正确性和效率。此外，选择合适的初始近似解和设置适当的误差阈值也是影响迭代效果的关键因素。 这个实验旨在通过实践操作，使学生掌握线性方程组的迭代解法，理解其背后的数学原理，以及如何在实际编程环境中应用这些方法。