动态规划解决‘拦截导弹’问题与最长上升子序列

"动态规划在解决'拦截导弹'问题中的应用 在这个问题中，我们需要通过动态规划的方法来计算一个系统在拦截导弹时，如果最后一枚导弹是特定高度的情况下，能够拦截到的最大导弹数量。给定数组a[i]表示拦截最后一枚导弹为第i枚时的最大拦截数量，例如a[5]=3意味着在高度为299时，可以拦截第1枚、第4枚和第5枚导弹。 动态规划的关键在于建立递推关系。首先，我们要明确第一问的目标函数，即找到a[1]到a[8]中的最大值，这是求解整个问题的基础。为了求解这个问题，我们可以使用动态规划的分治策略，将复杂问题分解成更小的子问题。 第一问的解可以通过初始化a[1]到a[7]，然后逐步计算a[8]的过程来得出。a[8]的计算涉及到寻找所有可能的导弹组合，确保最后一枚导弹的高度至少为65。在这个过程中，我们需要枚举所有可能的导弹高度，找出符合条件的导弹，并结合前面已知的信息，更新a[8]的值。 动态规划的模型在这个问题中属于区间型，因为我们需要根据导弹高度的范围来确定哪些导弹可以被拦截。常见的动态规划模型还包括坐标型（如公共汽车接客问题）、线性型（如最长上升子序列问题）和背包型（如0-1背包问题）。在处理线性模型时，状态是一维的，比如最长上升子序列问题，通过正推（从左到右计算最优解）和倒推（从右到左回溯构建最长子序列）来找到最优解。 以最长上升子序列为例，其问题描述涉及到了递增子序列的概念。给定一个序列，任务是找到其中最长的递增子序列的长度。该问题可以通过定义一个状态转移方程来解决，如L(i)表示序列前i个元素的最长递增子序列的长度，通过比较当前元素与之前元素的关系，找到最大长度递增子序列。 总结来说，'拦截导弹'问题的动态规划解法利用了状态转移的思想，通过逐步分析每个状态下的最优解来找到整个问题的全局最优解。这种技术不仅适用于导弹拦截问题，也广泛应用于各种优化问题，如序列分析、资源分配等，展示了动态规划的强大灵活性和普适性。"