第三章 线性时不变系统 LTI
如果一个系统任意时刻的输出至多取决于本时刻的输入,而不依赖过去和将来时刻的输入,则该系统
称为静态系统或无记忆系统,比如放大器就是一个典型的静态系统。在其他情况下,系统称为动态系统或
有记忆系统,比如单位延时器就是一个典型的动态系统。
线性:一个系统具有齐次性(比例性),又具有可加性,则称该系统为线性系统。
时不变:系统的输入/输出关系不随时间而变化,或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无
关。y(n-k) = T[x(n-k)],将输入 x(n)直接延时 k 个单位和将 y(n)直接延时 k 个单位。(若输入信号仅是
延迟关系,那么输出信号之间也是相同的延迟关系)
因果系统:系统在任意时刻 n 的输出只取决于当前和以前时刻的输入。现实中的实时信号处理系统都是因
果系统。
稳定系统:输入输出都有界的系统。
在连续系统的时域表示中,常用微分方程来进行描述。在离散系统中,用差分方程来描述。
LTI 系统的时域描述 : 差分方程(离散系统),单位冲激响应 h(x)
两类最常用的 LTI 系统:
1 FIR(有限冲激响应)系统:h(n)只在某一有限时间段内的取值不为 0,在这个时间段之外的取值均为 0.
2 IIR(无限冲激响应)系统:h(n)的取值在整个时间范围内都不为 0.
在数字信号处理中,LTI 系统常被称为滤波器,因此 FIR 系统也称为 FIR 滤波器,同样,IIR 系统称为 IIR 滤波
器。
LTI 系统的特征信号
用齐次性,可加性和时不变性来定义了一个 LTI 系统,用差分方程和单位冲激响应来描述了 LTI 系统。
复正弦信号是 LTI 系统的特征信号,即复正弦信号通过一个 LTI 系统后,其频率保持不变。频率不变性是 LTI
系统的特征,非 LTI 系统没有频率不变的特性。
将信号分解为多个复正弦信号之和,然后再研究系统对复正弦信号响应的研究方法,在信号处理中称
为傅里叶分析。对信号和系统进行频率分析的工具是傅里叶变换。对信号的频率分析也称为频谱计算,对
系统的频率分析也称为频率响应。
不管是在时域上将信号分解为单位冲激信号,然后用单位冲激响应来表征系统,还是在频域上将信号
分解为复正弦信号,然后用频率响应来表征系统,所描述的问题具有等效性。
Z 变换在时域分析,频域分析和解差分方程三种分析方法间架起了桥梁。从信号的单位冲激信号分解的角
度,可以从时域来分析;如果从信号的复正弦信号的分解角度,可以从频域来分析;当然也还可以直接利
用解差分方程的方法来分析。用 Z 变换的方法,一个 LTI 系统的特性可以用传递函数 H(z)来描述(这是因为
一个 LTI 系统的单位冲激响应 h(n)就可以完全表征系统本身)。
Z 变换,Z 逆变换,系统传递函数(单位冲激响应 h(n)的 Z 变换,h(n)的傅里叶变换叫做单位冲激频率响应),
通过 Z 变换,将系统输入/输出关系由复杂的求和变成了简单的相乘。给系统的分析带来很大的方便。
Y(z)=X(z)H(z)
由传递函数 H(z) = N(z)/D(z)知,除了常数 K 之外,整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。这里
的零、极点可能是实数,纯虚数或者复数。零、极点若为虚数或者复数,则一定共轭成对出现。
将系统函数的零,极点全部标注在 z 平面上得到的图形,称为系统的零极图。单位圆即|z|=1.