多变量线性回归与梯度下降算法解析
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更新于2024-08-05
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"这篇笔记主要介绍了机器学习中的线性回归,特别是多变量线性回归以及相关的概念、假设、参数、成本函数和梯度下降优化方法。"
在机器学习领域,线性回归是一种基础且重要的预测模型,用于建立输入特征与输出结果之间的线性关系。在 Week 2 的笔记中,我们关注的是多变量线性回归,它允许我们同时考虑多个特征来预测目标变量。
1. 多变量线性回归的基本概念:
- **符号约定**:m 表示样本数量,n 表示特征维度。x_j^(i) 表示第 i 个样本的第 j 个特征,而 x^(i) 包含了第 i 个样本的所有 n 个特征。
2. **假设函数** (Hypothesis):
多变量线性回归的假设函数 h_θ(x) 是所有特征的线性组合,包括一个常数项(偏置项)θ0,形式为:
h_θ(x) = θ0 * 1 + θ1 * x1 + ... + θj * xj + θn * xn
其中,向量 θ = [θ0, θ1, ..., θj, ..., θn] 属于实数空间 ℝ^(n+1),并且 x0 ≡ 1,这样可以将常数项包含进来。
3. **参数** (Parameters):
参数 θ 包括了 θ0, θ1, ..., θj, ..., θn,它们是模型待学习的权重,用于确定特征与目标变量的关系。
4. **成本函数** (Cost Function):
使用均方误差作为损失函数,成本函数 J(θ) 定义为:
J(θ) = 1/(2m) * ∑[(h_θ(x^(i)) - y^(i))^2] ,i 从 1 到 m,其中 y^(i) 是第 i 个样本的真实目标值。
5. **目标**:
我们的目标是最小化成本函数 J(θ),找到最优的参数组合。
6. **梯度下降优化** (Gradient Descent for multiple variables):
- 在多变量情况下,梯度下降法同样用于求解最小化问题,但需要对每个参数进行更新。
- 更新规则为:θ_j := θ_j - α * (∂/∂θ_j)J(θ),其中 α 是学习率,j 从 0 到 n。
- 对于 j=0, x0=1,所以更新规则与单变量情况相同。
- 偏导数计算为:∂/∂θ_j J(θ) = 1/m * ∑[(h_θ(x^(i)) - y^(i)) * x_j^(i)]。
7. **数据预处理**:
- **特征缩放** (Feature Scaling) 是一种常见的策略,目的是减小不同特征的数值范围差异,避免梯度下降过程中收敛速度过慢或无法收敛。因为当特征尺度不一时,等高线会变得尖锐,导致梯度下降沿等高线法线方向的步进过大,可能形成 Z 字形路径。
预处理通常包括标准化(使特征具有零均值和单位方差)或归一化(将特征缩放到特定范围,如 0-1 或 -1 到 1)。特征缩放有助于优化过程的稳定性和效率,确保模型更好地拟合数据。
这篇笔记涵盖了多变量线性回归的基本理论和实现细节,包括模型设定、参数优化以及数据预处理的重要性,这些都是构建有效机器学习模型的关键步骤。
2022-08-03 上传
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蒋寻
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