MATLAB 6.0中的线性规划问题与linprog函数解析

"MATLAB6.0数学手册章节关于线性规划问题的教程" 在MATLAB中，线性规划（Linear Programming, LP）是一种用于寻找变量的最优化问题，其目标函数和约束条件都是线性的。在MATLAB6.0版本中，解决线性规划问题的函数由`lp`更新为`linprog`，尽管旧版的`lp`函数在6.0版本中仍然可用，但`linprog`提供了更多的灵活性和功能。 线性规划的标准形式是找到向量`x`，使目标函数`f'*x`最小化，同时满足一定的线性约束。具体形式如下： \[ \begin{align*} \text{minimize} \quad & f^Tx \\ \text{subject to} \quad & Ax \leq b \\ & Aeqx = beq \\ & lb \leq x \leq ub \end{align*} \] 其中，`f`是目标函数的系数向量，`x`是决策变量向量，`b`和`beq`分别是不等式和等式约束的右侧常数向量，`A`和`Aeq`是对应的系数矩阵，`lb`和`ub`定义了变量的下界和上界。 MATLAB的`linprog`函数支持以下几种调用格式： 1. `x=linprog(f,A,b)`：求解没有等式约束的线性规划问题。 2. `x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)`：添加等式约束。 3. `x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)`：指定变量的边界。 4. `x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)`：设置初始解`x0`。 5. `x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)`：使用自定义优化参数`options`。 `linprog`函数返回最优解`x`，并且可以返回其他附加信息： - `[x,fval]`：返回目标函数的最优值`fval=f'*x`。 - `[x,lambda,exitflag]`：`lambda`是Lagrange乘子，`exitflag`表示求解状态。 - `[x,lambda,fval,exitflag]`：包括目标函数最优值和终止状态。 - `[x,fval,lambda,exitflag,output]`：`output`包含更多关于优化过程的信息，如迭代次数、函数估值等。 `exitflag`的值对于判断求解是否成功至关重要： - `exitflag > 0`：表示函数收敛并找到了解`x`。 - `exitflag = 0`：意味着超过了函数估值或迭代的最大次数，未能收敛。 - `exitflag < 0`：表示未能找到解决方案，可能是因为问题无解或不唯一。 此外，`lambda`的值可以帮助理解解的性质： - `lambda = lower`：表示下界`lb`对应的Lagrange乘子。 - `lambda = upper`：对应上界`ub`的Lagrange乘子。 - `lambda = ineqLin`：表示不等式约束的Lagrange乘子。 通过`linprog`，用户可以方便地解决各种线性规划问题，并获取有关解的充分信息，这对于优化问题的分析和调试极其重要。