线性最小二乘问题与曲线拟合

"极小最小二乘解的求法通常用于解决曲线拟合和线性最小二乘问题，尤其在数据分析中广泛应用。这种解法涉及找到一个函数的最佳近似，使得残差平方和最小。在数学上，它表现为寻找一组常数，使残差向量的2-范数最小化。" 线性最小二乘问题（Linear Least Squares Problem）是数据分析中的基本问题，它旨在找到一组参数，使得实际观测值与模型预测值之间的差异（残差）的平方和最小。在实际应用中，例如曲线拟合，我们可能有函数在多个点上的数据，并希望找到一个最佳的近似函数来描述这些数据的趋势。 最小二乘问题的一般形式可以表示为：给定一组观测点 `(x_1, f_1), (x_2, f_2), ..., (x_m, f_m)`，寻找一组系数 `α_1, α_2, ..., α_n`，使得目标函数 `f(x; α)` 在这些点的残差平方和最小。残差是观测值 `f_i` 与模型预测值 `f(x_i; α)` 之间的差 `r_i = f_i - f(x_i; α)`。 当模型为线性时，即 `f(x; α) = Σ(α_i * φ_i(x))`，其中 `φ_i(x)` 是一组线性无关的基函数，最小二乘问题可以转化为求解线性方程组 `Aα = b` 的最小二乘解，其中 `A` 是由基函数在观测点上的值构成的矩阵，`b` 是观测值的向量，`α` 是待求的系数向量。 对于超定系统（m > n，观测点多于自由参数），由于方程组没有唯一解，我们会寻找使得残差向量 `r` 的2-范数最小的解，即 `||r||^2 = r^T * r` 最小。这可以通过正规方程组 `A^T * A * α = A^T * b` 来解决，其中 `A^T` 是 `A` 的转置，`A^T * A` 是一个 `n x n` 的正定矩阵，`A^T * b` 是 `A` 的转置与 `b` 的乘积。 在正交分解的情况下，如果矩阵 `A` 可以被分解为 `Q * R`，其中 `Q` 是列正交矩阵，`R` 是上三角矩阵，那么最小二乘解可以通过求解简化后的方程 `R * η = Q^T * b` 得到，然后 `α = Q * η`。这种方法称为QR分解法，它是求解最小二乘问题的一种有效方法。 在曲线拟合的实际应用中，例如纤维强度与拉伸倍数的关系，我们可能会选择不同阶的多项式作为近似函数，如一次多项式、二次多项式等，然后利用最小二乘法找到最佳的多项式系数。通过调整多项式的阶数，我们可以平衡拟合精度和模型复杂度，避免过拟合或欠拟合的问题。 总结来说，最小二乘法是一种强大的工具，广泛应用于数据拟合、回归分析、信号处理等领域，其核心思想是通过最小化误差的平方和来找到最佳的参数估计，而极小最小二乘解的求法是实现这一目标的关键步骤。