数值分析实习：QR分解法与特征值求解实践

数值分析计算实习第二题主要探讨的是如何使用QR分解法求解矩阵的特征值和特征向量。该题目设计了一个具体的应用场景，通过Creat_A()函数生成一个n阶矩阵A，其中元素基于正弦和余弦函数，体现了随机性和非对角占优的特点。目的是通过数值方法，特别是Hessenberg过程将矩阵A转化为Hessenberg形式，以减少QR分解法的迭代次数。 Hessenberg化步骤是关键环节，通过计算当前行与下一行的内积，如果内积为零则跳过，否则调整当前行的元素，形成新的向量u，然后利用 Householder 变换来实现矩阵的逐步上三角化。这个过程通过调整矩阵的行向量来使得矩阵对角线以下的元素逐渐减小，从而达到拟上三角化的目的。 接下来，对得到的Hessenberg矩阵进行QR分解，这一步骤是数值特征值求解的核心，QR分解将矩阵A分解为Q（正交矩阵）和R（上三角矩阵），即A = QR。通过这种分解，可以利用双步位移的QR方法来计算矩阵的特征值，该方法通过迭代更新R矩阵和特征向量来逼近真实特征值。 对于实特征值的求解，由于矩阵是对称的特性，经过高斯消元后，最后一行会变成全零，上半部分会形成单位矩阵，下半部分成为特征值对应的特征向量。具体来说，通过构造新的向量v，可以找到特征向量的初始近似值，通过迭代调整满足特征方程。 源程序中， Creat_A() 函数用于初始化矩阵，Hessenberg()函数用于将矩阵A转换为Hessenberg形式，QR分解和特征值求解的过程分别在后续的代码段中实现，包括计算P矩阵，更新R和Q矩阵，以及列主元素Gauss消去法来找到特征向量。 此题旨在考察学生对数值分析中的QR分解法及其在特征值求解中的应用理解，同时涵盖了矩阵操作、正交变换和迭代方法等核心概念。通过实际编程实现，学生可以深入理解并掌握这些理论知识在实际问题中的应用。