沃尔什级数求解偏微分方程与积分方程新方法

"沃尔什级数求解线性偏微分方程和积分方程的新方法 (1987年)" 沃尔什级数是一种在数学分析和信号处理领域中用于表示和求解各种数学问题的工具，特别是在处理离散和周期性问题时。这篇文章主要探讨了如何利用沃尔什级数来解决高阶线性偏微分方程（PDEs）和积分方程的问题。这种方法首先将偏微分方程转化为积分方程，然后通过逐步逼近法来寻找方程的沃尔什级数形式的近似解。 沃尔什级数的优势在于其简洁的取值特性，这简化了在计算机编程中的计算工作。与传统的解微分方程的方法相比，如拉普拉斯变换，沃尔什级数更适用于处理变参数线性和非线性系统的微分、积分方程。此外，由于沃尔什函数的数值计算相对简单，它们在计算机技术中的应用更为方便。 文章首先介绍了将偏微分方程转化为积分方程的步骤，并讨论了解的存在性和唯一性。接着，作者提出了基于沃尔什级数的解题策略。其中，迭代积分法是一种常用的策略，它从最高阶导数开始求解，然后逐步积分以获得整个方程的解。在沃尔什级数框架下，这种解法转化为对沃尔什级数的计算，因为沃尔什级数表示的导函数是可以积分的，并且可以通过查找预先计算好的表格来获取。 文章还详细列出了几种典型函数的沃尔什级数展开，如常数函数f(t) = 1的沃尔什级数表示，以及其他可能遇到的函数的展开形式。这些展开公式对于实际计算沃尔什级数解是非常有用的。 沃尔什级数的理论基础起源于1923年，但其在计算机科学和数字信号处理领域的应用是在20世纪70年代随着技术进步而得到重视的。文章引用了之前关于使用沃尔什函数解决常微分方程的两种方法，即迭代积分法和算子法，而本文则将迭代积分法扩展到了偏微分方程的领域。 该研究提供了一种新的求解高阶线性偏微分方程的途径，它利用沃尔什级数的特性简化了解题过程，并且适用于在数字技术和计算机上的实现。通过实例验证，这种方法的有效性和实用性得到了体现，为偏微分方程和积分方程的求解提供了新的计算工具。