高中数学：恒成立与能成立问题解决策略

"恒成立能成立问题总结(详细)" 在高中数学中，恒成立问题和能成立问题属于函数与不等式的重要部分，它们在各类考试，尤其是高考中常常出现，对学生来说既是重点也是难点。这类问题的特点是题型多变，需要灵活运用多种方法来解决。本文将详细阐述几种常用的方法。 一、函数法 函数法主要通过构造一次函数或二次函数来解决恒成立和能成立的问题。对于一次函数，例如形如y = ax + b的形式，可以通过分析其图象或单调性来处理。例如，如果需要解决不等式ax + b > c对于所有x在某个区间内恒成立，可以将问题转化为一次函数y = ax + b在x轴上方的区域恒成立，进而利用一次函数的性质求解参数a和b的范围。 例如，对于不等式ax + b > cx + d，可以先将其化简为(a - c)x > d - b，然后构造一次函数y = (a - c)x - (d - b)，使得函数值对于所有x恒正，从而确定a、c、b和d的关系。 二、构造二次函数 对于涉及二次函数的问题，可以利用二次函数的图像特征，如开口方向、对称轴、顶点等，以及二次方程的根的分布来解决。例如，要使二次不等式ax^2 + bx + c > 0恒成立，需要考虑判别式Δ = b^2 - 4ac的正负，以及a的符号。根据这些条件，可以得出a > 0且Δ < 0，或者a = 0且b = 0（此时不等式简化为常数项c > 0）。 在解决这类问题时，需要注意的是，如果题目没有明确指出二次不等式是对全体实数恒成立，还需要考虑函数在特定区间内的定义，以免漏解。 例如，例2中提到，如果二次不等式ax^2 + bx + c > 0的解集为全体实数，那么必须满足a > 0且判别式Δ < 0，或者a = 0且b = 0。若a < 0，则可能存在解集不是全体实数的情况，这时需要进一步分析。 三、练习题目 1. 若不等式px^2 - qx + r > 0对所有x属于[p, q]恒成立，求参数p、q、r的取值范围。解答此类问题时，首先需要判断函数在区间[p, q]内的单调性，然后结合二次函数的性质确定参数的限制。 2. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[m, n]上非负，求a、b、c的条件。这里需要考虑函数的最小值在区间内的情况，可能需要利用二次函数的顶点公式和对称轴。 解决恒成立和能成立问题需要深入理解函数的性质，尤其是一次函数和二次函数的图像和性质，以及不等式的解法。通过构造恰当的函数模型，结合函数的单调性、最值和图象，可以有效地解决这些问题。在实际解题过程中，应灵活应用这些方法，结合具体题目条件进行分析。