矩阵与线性代数方程组：求解策略与克莱姆法则

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在数值计算方法的第三章中，主要探讨了矩阵与线性代数方程组的概念和应用。线性代数方程组通常表示为一个一般形式，即一个n阶线性方程组，其表达式为： n ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬ ⎬

时，一方面可以将三对角矩阵进行压缩存储，以降低空间复杂

时，一方面可以将三对角矩阵进行压缩存储，以降低空间复杂度

度

；

另一方面只需要对三条对角线上的元素进行处理，以便大大减

另一方面只需要对三条对角线上的元素进行处理，以便大大减少

少

计算工作量。

1. 考虑三对角方程组的高斯消去法

考虑三对角方程组的高斯消去法

nkjaaa

kjkkkj

⋯ ,1/

+=⇒

kkkk

bab

⇒/

由于在三对角矩阵中，当

，

=0 ，因此对于三对

1+>

角方程组来说，这一步可以简化为：

1,1,

⇒

kkkkkk

aaa

kkkk

bab

⇒/

同样的道理，高斯消去法中系数矩阵消元与常数向量消元为

，，

ijkjikij

aaaa

⇒−

nki

⋯ ,1+=

nkj

⋯ ,1+=

，

ikiki

bbab

⇒−

nki

⋯ ,1+=

对于三对角方程来说，可以简化为：

1,11,,11,1

kkkkkkkk

aaaa

++++++

−⇒

11,1

kkkkk

dadd

+++

−⇒

高斯消去法中回代过程

nnnn

bax

⇒

1 ,2 ,,1 ,

⋅⋅⋅−=⇒−

∑

nkxxab

jkjk

对于三对角方程组来说可以简化为：

nnnn

xad

⇒/

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