矩阵与线性代数方程组：求解策略与克莱姆法则
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更新于2024-08-01
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在数值计算方法的第三章中，主要探讨了矩阵与线性代数方程组的概念和应用。线性代数方程组通常表示为一个一般形式，即一个n阶线性方程组，其表达式为：
n
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10
时， 一方面可以将三对角矩阵进行压缩存储， 以降低空间复杂
时， 一方面可以将三对角矩阵进行压缩存储， 以降低空间复杂
时， 一方面可以将三对角矩阵进行压缩存储， 以降低空间复杂
时， 一方面可以将三对角矩阵进行压缩存储， 以降低空间复杂 度
度
度
度
；
；
；
；
另一方面只需要对三条对角线上的元素进行处理， 以便大大减
另一方面只需要对三条对角线上的元素进行处理， 以便大大减
另一方面只需要对三条对角线上的元素进行处理， 以便大大减
另一方面只需要对三条对角线上的元素进行处理， 以便大大减 少
少
少
少
计算工作量。
计算工作量。
计算工作量。
计算工作量。
1.
1.
1.
1. 考虑三对角方程组的高斯消去法
考虑三对角方程组的高斯消去法
考虑三对角方程组的高斯消去法
考虑三对角方程组的高斯消去法
nkjaaa
kjkkkj
⋯ ,1/
,
+=⇒
kkkk
bab
⇒/
由于在三对角矩阵中， 当
，
=0 ， 因此 对于三 对
1+>
kj
kj
a
角方程组来说，这一步可以简化为 ：
1,1,
/
++
⇒
kkkkkk
aaa
kkkk
bab
⇒/
同样的道理，高斯消去法中系数矩阵消元与常数向量消元为
， ，
ijkjikij
aaaa
⇒−
nki
⋯ ,1+=
nkj
⋯ ,1+=
，
ikiki
bbab
⇒−
nki
⋯ ,1+=
对于三对角方程来说，可以简化为 ：
1,11,,11,1
kkkkkkkk
aaaa
++++++
−⇒
11,1
kkkkk
dadd
+++
−⇒
高斯消去法中回代过程
/
nnnn
bax
⇒
1 ,2 ,,1 ,
1
⋅⋅⋅−=⇒−
∑
+=
nkxxab
k
n
kj
jkjk
对于三对角方程组来说可以简化为 ：
nnnn
xad
⇒/
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