现代控制理论：状态空间描述与线性变换

"现代控制理论.ppt - 中南大学信息学院自动化系教授徐德刚讲解的关于现代控制理论的第二章内容，主要涉及控制系统的状态空间描述，包括基本概念、状态空间表达式的建立、传递函数矩阵、组合系统、非奇异线性变换以及离散时间系统状态空间表达式。" 现代控制理论是控制系统设计与分析的重要领域，它在自动化、航空航天、机械工程等多个领域都有广泛应用。本资源聚焦于状态空间描述这一核心概念，这是理解和分析线性定常系统动态行为的关键工具。 第二章主要讲解了以下几个知识点： 1. **基本概念**：状态空间描述是通过一组状态变量来表示系统的动态行为，这些状态变量能够完全描述系统的所有信息。状态变量的选择直接影响到系统的描述形式和分析复杂度。 2. **状态空间表达式的建立**：建立状态空间模型通常涉及将系统的微分方程转化为一组线性常系数的微分方程组，即状态方程，形式为 `dx/dt = Ax + Bu`，其中A是状态矩阵，B是输入矩阵，U是输入向量，X是状态向量。 3. **传递函数矩阵**：在频域内，传递函数矩阵是系统动态特性的一种表示，通过拉普拉斯变换从时域状态方程导出，反映了输入信号如何影响输出信号。 4. **组合系统**：讨论了如何将多个子系统组合成一个更大的系统，以及如何在状态空间框架下处理这种组合。 5. **非奇异线性变换**：非奇异线性变换是通过正交变换（如雅可比或施密特正交化）将状态方程转换为更简单的形式，如约当规范型，这对于理解和控制系统的稳定性、可控性和可观测性非常有用。当系统矩阵A的特征值互不相同，可以将其转换为对角线规范型，简化了系统的分析。 6. **离散时间系统状态空间表达式**：除了连续时间系统，现代控制理论还考虑离散时间系统，这在数字控制和采样系统中尤其重要。离散时间状态空间模型通常表示为 `x[k+1] = Ax[k] + Bu[k]`，其中k表示离散时间步长。 通过非奇异线性变换，可以将一个系统转换为等价的但结构更简单的形式，这对于计算系统的特征值、研究稳定性、设计控制器和观测器都非常有利。传递函数矩阵对于系统分析和控制设计也是关键，因为它提供了系统频率响应的直接洞察。这部分内容为深入理解现代控制理论和实际应用打下了坚实的基础。