根轨迹法：绘制与条件解析

"根轨迹是经典控制理论中的一个重要概念，用于分析闭环系统性能。通过根轨迹，我们可以了解系统参数变化如何影响闭环极点的位置，从而影响系统的动态特性。根轨迹法是由W.R.Evans在1948年提出的，它提供了一种图解方法，避免了直接求解闭环特征方程的复杂性。这种方法允许我们根据开环传递函数的零点和极点分布来绘制根轨迹，从而间接找到闭环系统的根。 根轨迹是开环传递函数的一个参数（通常为增益K）从0变化到无穷大时，闭环特征方程的根在复平面上的运动轨迹。主要根轨迹是当K从0增加到无穷大时的轨迹，辅助根轨迹则是在K从负无穷大减小到0时的轨迹。全根轨迹是这两部分的组合。 根轨迹方程描述了根轨迹的数学形式。对于一个具有开环传递函数G(s)H(s)的系统，闭环特征方程为1+G(s)H(s)=0。当K乘以开环传递函数时，根轨迹方程变为1+KG(s)H(s)=0。随着K的变化，特征方程的根，即闭环极点，会在复平面上移动，形成根轨迹。 绘制根轨迹需要遵循一些基本法则，例如180度法则、K乘法规则、根轨迹起始和终止点规则等。这些规则帮助确定根轨迹在复平面上的形状和方向。例如，根轨迹在开环极点和零点处的入射角等于出射角，总角度变化为180度。 对于零度根轨迹，它是从一个开环零点到另一个开环零点或极点的特殊轨迹。其绘制规则需要对常规根轨迹法则进行适当的调整。在某些情况下，如果相角条件满足，即使幅值条件不满足，也可以存在根轨迹。 在实际应用中，根轨迹法可以用来分析反馈控制系统的稳定性、上升时间、超调量和调节时间等性能指标。通过观察根轨迹，工程师可以选择合适的控制器参数以优化系统的动态响应。例如，通过调整K的值，可以使闭环极点配置在期望的位置，从而改善系统性能。 在本章中，除了根轨迹和根轨迹方程的基础知识，还会介绍如何绘制根轨迹的基本法则，广义根轨迹的概念，以及针对典型反馈系统的根轨迹分析。这些内容对于理解和设计控制系统至关重要。"