网络流算法详解与Ford-Fulkerson算法应用

"网络流算法.pdf" 网络流算法是一种用于解决网络中最大传输能力问题的图论方法。在计算机科学和运筹学中，它有着广泛的应用，如电路设计、调度问题、分配问题等。本讲义主要介绍了网络流的基本概念和福特-富克森（Ford-Fulkerson）算法。 在有向图G=(V,E)中，每条边(e)都有一个容量限制(capacity)，表示该边能允许的最大流量。源点(s)是产生流量的起点，而汇点(t)是接收流量的终点。网络流的一个关键特性是流量守恒原则：除了源点和汇点，图中任意节点的流入流量等于其流出流量。 福特-富克森算法的核心思想是通过深度优先搜索（DFS）寻找从源点到汇点的增广路径，即流量可以增加的路径。每次找到这样的路径，就将路径上所有边的流量增加至路径最小容量，然后更新边的剩余容量。这个过程不断重复，直到无法找到增广路径为止，此时达到的最大流量就是网络的最大流。 然而，原始的福特-富克森算法可能会遇到一个问题，即过早封闭某些路径，导致未能发现最大流。为了解决这个问题，引入了残余网络的概念。残余网络是在原网络基础上构建的，其中包含反向边，这些反向边的容量等于原边在前一次DFS中输送的流量。这样，当DFS在残余网络中搜索时，可以利用反向边来重新探索之前已被封闭的路径，从而可能发现更大的流量。 举例来说，假设存在一个网络，s到a、a到b、b到t的容量均为100。如果首次DFS按照s-a-b-t的路径找到了100的流，然后在残余网络中添加反向边，第二次DFS可以在新网络中找到a-s的反向边，从而形成新的路径s-a-b-t-a-s，从而将总流量提升至200。 在实际应用中，为了提高效率，通常会采用广度优先搜索（BFS）而非DFS，因为BFS可以找到长度最短的增广路径，这有助于更快地达到最大流。此外，还有其他优化算法，如Edmonds-Karp算法，它选择每次增广路径时使用具有最小容量的边，以确保快速收敛。 总结起来，网络流算法通过构建和迭代残余网络，寻找并增加增广路径的流量，最终确定网络的最大流。福特-富克森算法及其变种是解决这类问题的基础工具，它们在优化和调度问题中扮演着重要角色。