广义线性模型与伯努利分布

"伯努利分布-developing microsoft media foundation applications (pdf)" 伯努利分布是概率论和统计学中的一个基本概念，特别是在机器学习和数据科学领域中，它扮演着重要的角色。这种分布又称为两点分布或0-1分布，因为它只包含两个可能的结果：成功（1）和失败（0）。在一次伯努利实验中，如果实验成功，随机变量的取值为1；如果失败，取值为0。成功发生的概率记为p，失败发生的概率则为q，其中q = 1 - p。 伯努利分布的概率密度函数可以表示为P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k是随机变量X可能取的值，即0或1。这个公式表明，随机变量X等于1的概率是p，等于0的概率是1-p。 伯努利分布可以写成指数分布族的形式，这在广义线性模型（GLMs）中是非常重要的。广义线性模型是一类灵活的统计模型，它们将因变量与一个线性预测器关联，并且基于指数分布族。在GLMs中，给定一组特征x，随机变量Y的条件概率分布服从指数分布族，即P(Y|X) = g^(-1)(η)，其中η = β^T x是线性预测器，g是链接函数，g^(-1)是它的反函数。 线性最小二乘回归和逻辑回归是广义线性模型的两个特例。在线性最小二乘回归中，随机变量Y服从正态分布（高斯分布），而逻辑回归中，Y服从伯努利分布。高斯分布的概率密度函数可以转化为指数分布族形式，从而证明线性最小二乘回归也属于广义线性模型的范畴。 逻辑回归是基于伯努利分布的，其目标是预测事件发生的概率，例如分类问题中的二元结果。Sigmoid函数（1 / (1 + e^(-z))) 在逻辑回归中作为链接函数使用，它将线性预测器η映射到[0,1]区间，以适应伯努利分布的概率解释。Sigmoid函数的输出可以看作是事件发生的概率p，而1-Sigmoid函数的输出则是事件不发生的概率q。 除了伯努利分布，还有其他常见的概率分布，如高斯分布（正态分布）和泊松分布。高斯分布广泛应用于线性回归模型，其特点是均值和方差固定，且与特征线性相关。泊松分布则用于描述在一定时间内发生次数的随机变量，比如电话呼叫次数、网页点击量等，它的均值和方差相等，反映了事件发生频率的稳定性。 伯努利分布是理解许多统计模型，特别是广义线性模型和逻辑回归的基础。它在现实世界的众多应用场景中都有所体现，包括二元分类问题、医学试验、质量控制等。通过将其纳入指数分布族框架，我们可以利用更复杂的统计方法来建模和分析数据。