贪心算法详解：活动安排与优化问题

"acm算法教程之贪心算法，涵盖了活动安排问题、最优装载、背包问题、旅行商问题、多机调度问题、哈夫曼编码、单源最短路径、最小生成树、Prim算法、Kruskal算法、矩阵乘法链、电路布线等多个贪心算法的应用实例和解析。" 贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。这种算法通常用于解决最优化问题，其基本思想是将大问题分解为小问题，通过对每个小问题的局部最优解来构建整体的最优解。 1. **活动安排问题**：这是一个经典的贪心算法问题，目标是在有限的资源下安排尽可能多的活动。贪心策略是按活动结束时间的非降序排列，然后依次选择不与其他活动冲突的活动。例如，给定11个活动，贪心算法会选择结束时间最早的活动，直到无法再添加新的不冲突活动为止，如(1,4,8,11)。 2. **最优装载**：这类问题涉及到如何在有限的容器中装入物品以最大化容量。贪心策略可能涉及按物品重量的非增序装入，每次尝试装入最大的物品，只要它们不会超过容器的容量。 3. **背包问题**：包括0-1背包和完全背包问题，贪心算法可能会根据物品的价值密度（价值/重量）来选择物品，优先选择价值密度高的物品。 4. **旅行商问题**：寻找访问多个城市并返回起点的最短路线。贪心算法的一个简单策略是每次选择最近未访问的城市，但此策略不保证得到全局最优解。 5. **多机调度问题**：分配任务到多台机器以最小化完成所有任务的时间。贪心策略可能是根据任务的执行时间进行排序，优先分配执行时间短的任务。 6. **哈夫曼编码**：用于数据压缩，贪心策略是构造最小带权路径长度的二叉树，每次合并两个权值最小的节点。 7. **单源最短路径**：如Dijkstra算法，每次选择当前未处理节点中距离源点最短的节点，并更新其相邻节点的距离。 8. **最小生成树**：Prim算法和Kruskal算法用于找到图中边的最小权重集合，形成一棵包括所有顶点的树。Prim从一个顶点开始，每次都添加一条与当前树连接且权值最小的边；Kruskal则是按边的权值从小到大加入，避免形成环。 9. **矩阵乘法链**：贪心策略是找到最佳的矩阵乘法规则，使得乘法次数最少。 10. **电路布线**：在电路设计中，贪心算法可能用于找到最短路径或最小电阻的布线方案。 贪心算法的优点在于求解速度快，时间复杂度相对较低，适用于那些可以通过局部最优解得出全局最优解的问题。然而，其缺点在于并非所有问题都能通过贪心策略找到全局最优解，因此必须在使用贪心算法时确保问题具有贪心选择性质和最优子结构。对于这些不能保证最优性的贪心算法，通常需要通过数学证明来验证其正确性。