随着目标数的增加, 对每个目标分别建立高斯过程模型时个体估值的不确定度会随
之增大. 因此, 针对多目标优化问题, 考虑到个体的收敛性、种群的多样性以及估
值的不确定性, 本文对高斯过程模型的期望提高(Expected improvement, EI)获取函
数进行了改进. 使用角度惩罚距离函数值作为个体的收敛性指标, 所有目标估值的
不确定度均值作为个体的估值不确定度, 从而使算法在选择个体进行真实计算时在
开发和开采能力上达到平衡.
� 本文主要贡献包含以下两个方面:
� 1) 通过对模型最优解集的搜索提高算法的开发能力, 使其能够引导种群
向具有较好目标函数值的区域进化, 并从获得的最优解集中选择个体进行真实的目
标函数评价, 从而加快收敛速度.
� 2) 考虑个体的收敛性、种群的多样性以及估值的不确定性, 针对计算费
时多目标优化问题提出一种新的填充准则.
� 1. 相关工作
� 1.1 高斯过程
� 高斯过程(Gaussian process, GP)是基于统计理论提出的机器学习方法
[28]
,
其性质由均值函数 μ(x)μ(x)和协方差函数 k(xi,xj)k(xi,xj)唯一确定,
k(xi,xj)=E[(f(xi)−μ(xi))(f(xj)−μ(xj))]k(xi,xj)=E[(f(xi)−μ(xi))(f(xj)−μ(xj))]
� 其中, xixi,xjxj 代表决策空间 R 中 2 个任意的 DD 维向量, μ(x)μ(x)和
k(x)k(x)分别为均值函数和协方差函数. 因此, 给定数据集
DS={(xi,f(xi)),i=1,2,⋯,n}DS={(xi,f(xi)),i=1,2,⋯,n}, 假设训练集
X=[x1;x2;⋯;xn],Y=f(x1);f(x2);⋯;X=[x1;x2;⋯;xn],Y=f(x1);f(x2);⋯;f(xn)]f(xn)], 则高斯
过程模型可定义如下:
� 其中, f^(x)f^(x)是高斯过程回归模型在 xx 上的预测值, εε 是一个随机变
量, 服从均值为零, 方差为 σ2σ2 的高斯分布. 由此可得
f^(x)∼N(0,K+σ2I)f^(x)∼N(0,K+σ2I)
� 其中, KK 为 n×nn×n 阶对称的正定协方差矩阵, 每个元素 kijkij 表示 xixi
和 xjxj 之间的相关性. 则
[YY∗]=N(0,[K(X,X)+σ2IK(X∗,X)K(X,X∗)K(X∗,X∗)])[YY∗]=N(0,[K(X,X)+σ2IK(X,X∗)K(X∗,X)K(X∗,X∗)])
� 式中, K(X,X∗)K(X,X∗)表示测试输出样本 X∗X∗和训练输出样本 XX 之间
的协方差矩阵, K(X∗,X∗)K(X∗,X∗)为测试输出样本 X∗X∗自身的协方差矩阵.