线性系统理论：广义特征向量链解析

"Step6:确定广义特征向量链。线性理论课件，涉及线性多变量系统、状态空间描述、线性系统的运动分析、能控性、能观测性、稳定性和时间域综合。" 在《线性理论》这门课程中，Step6着重讲解了如何确定广义特征向量链。这个概念在分析线性定常系统时尤其关键。广义特征向量链的数目等于分块表中的行数，在示例中为3。这些链由分块表行中的特征向量组构成，表明系统有三个不同的广义特征向量链。 对于一个n维线性定常系统，如果系统矩阵A有一个k重特征值λ，那么矩阵A的属于不同特征值的广义特征向量组之间必须是线性无关的。这意味着这些向量组可以构成一个基，用于描述系统的动态行为。 线性多变量系统是该课程的核心内容，通常通过状态空间描述来分析。状态空间描述是一种数学工具，它将系统的所有动态变量集合在一起，形成一个高维空间，其中每个点代表系统的瞬时状态。状态方程描述了系统状态随时间的变化，而输出方程则关联了状态变量与系统的输出。 此外，线性系统的运动分析探讨了系统的动态行为，包括能控性和能观测性。能控性是指系统能否通过适当的输入序列到达任何状态，而能观测性则是指能否通过系统输出推断出系统的状态。这些性质对于设计控制器和传感器布局至关重要。 线性系统的稳定性分析是另一重要主题，主要关注系统是否能够保持稳定或者在小扰动后恢复到平衡状态。这涉及到李雅普诺夫稳定性理论，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。 线性反馈系统的时间域综合是课程的另一个重点，它研究如何设计反馈控制策略以实现特定的系统性能指标，如稳态误差、响应速度等。线性系统的时间域理论和复频率域理论提供了不同的分析方法，前者侧重于时间域内的微分方程解，后者则利用频域特性进行分析。 《线性系统理论》涵盖了系统控制理论的基础概念，从系统定义、动态系统分类到线性系统的特性分析，为理解和设计复杂的控制系统奠定了坚实的基础。