ACM算法模板：数论与图论核心算法概览

"ACM算法模板是一份详细总结了常用函数、重要数学公式、数论算法和图论算法的编程指南，旨在帮助参赛者解决ACM/ICPC（国际大学生程序设计竞赛）中的问题。这份资源由Huang Wei编写，属于软件工程和计算机科学学院的 ACM Standard Code Library 部分。" 在ACM算法模板中，首先介绍了常见的函数和STL（Standard Template Library）组件，这些是C++编程中不可或缺的部分，包括容器、迭代器、算法等，对于高效地处理数据至关重要。 接下来，列举了一些重要的数学公式和定理，如： 1. **斐波那契数列（Fibonacci Number）**：递归定义的数列，常见于动态规划问题。 2. **卢卡斯数列（Lucas Number）**：与斐波那契数列相似，但在初始值上有所不同，有时用于优化斐波那契数列计算。 3. **卡塔兰数（Catalan Number）**：在组合数学中有广泛的应用，例如括号问题、分割问题等。 4. **斯特林数第二类（Stirling Number Second Kind）**：表示集合的不同划分方式。 5. **贝尔数（Bell Number）**：表示有向无环图的不相交连通子图的数量。 6. **斯特林近似（Stirling's Approximation）**：对自然数的对数的近似公式。 7. **倒数和的近似（Sum of Reciprocal Approximation）**：在数论和概率论中有时会用到。 8. **杨表（Young Tableau）**：与组合数学和格论相关，常出现在排列组合问题中。 9. **整数划分**：一个数可以如何表示为若干正整数之和的组合问题。 10. **错排公式**：描述排列中的逆序数。 11. **三角形内切圆半径公式**和**外接圆半径公式**：几何学中的基本关系。 12. **圆内接四边形面积公式**：用于计算特定几何图形的面积。 接着，模板涵盖了数论算法： 1. **最大公约数（GCD）**：计算两个或多个整数的最大公约数。 2. **素数判断（Prime）**：检查一个数是否为素数。 3. **素数筛法（Sieve Prime）**：快速找出一定范围内的所有素数。 4. **模逆元（Module Inverse）**：在模运算下找到一个数的逆元。 5. **扩展欧几里得算法（Extended Euclid）**：求解线性同余方程。 6. **中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）**：解决多个同余方程组的问题。 7. **欧拉函数（Euler Function）**：计算小于等于指定数的正整数中与该数互质的数的数量。 8. **费耶数（Farey）总数**和**序列构造**：在数论中与有理数的排序有关。 9. **米勒-拉宾素数测试（Miller-Rabbin）**和**Pollard rho因式分解**：用于素数检验和大整数的因式分解。 最后，模板还包含了图论算法： 1. **最小生成树（Kruskal和Prim算法）**：用于找到加权无向图的最小成本树结构。 2. **单源最短路径（Bellman-Ford，Dijkstra，Floyd算法）**：找到图中从一个特定顶点到其他所有顶点的最短路径。 3. **拓扑排序**：对有向无环图进行线性排序。 4. **网络流算法**：包括预流推进、最大流和最小费用最大流等，用于解决容量限制的运输问题。 5. **最大团**和**最大匹配**：在图中寻找最大大小的完全子图或匹配。 6. **强连通分量**：在有向图中找寻相互可达的顶点集合。 7. **无向图割边割点和双连通分量**：分析图的结构稳定性。 这些算法和公式构成了ACM算法模板的核心，为程序员提供了解决复杂计算问题的工具和思路。在ACM竞赛中，理解和掌握这些内容是取得好成绩的关键。