耗散型聚合方程组的全局适定性分析

本文主要探讨的是耗散型聚合方程组在Cauchy问题下的整体适定性理论。作者边东芬和胡越针对两种不同类型的核函数的奇异性条件，提供了相应的适定性结果。首先，当核函数k(x)是弱奇性的，具体表现为其梯度∇k属于Lp空间，其中p满足(n/α-1, +∞]，并且非负初始值u0满足u0属于L1(Rn)这一条件时，研究者证明了该问题的整体适定性。弱奇性意味着k(x)的奇异性在某种程度上被Lp空间内的控制，使得方程组的解的行为可预测。 另一方面，对于强奇性的核函数k(x)，即其梯度∇k属于Lp,∞(Rn)，其中p在(1, (n/α-1)]范围内，且初始值u0满足一定的模态约束，即u0的Lq*范数小于某个常数ε，这里q*定义为n/(n+α-1)-n/p，其值落在[1, n/α-1)区间内。这种情况下，即使核函数的奇异性更强烈，通过Banach压缩映射原理，也确保了Cauchy问题的全局适定性。Banach压缩映射原理是一种数学工具，它在这里被用于证明方程组解的存在、唯一性和稳定性。 整体适定性是指对于给定的初始条件，方程组的解不仅存在，而且是唯一的，并且这些解依赖于初始数据的连续方式，即初始数据的变化会导致解的一致改变。这对于理解方程组的行为以及其在实际应用中的预测性至关重要。 文中引入了耗散型聚合方程组的概念，这是一种在Rn×(0，+∞)空间中处理扩散和聚集效应的数学模型，常用于描述物理、化学和生物学系统中粒子的动态行为。本文的结果扩展了已有的适定性理论，特别是在核函数的奇异性条件下，为这类问题的分析提供了坚实的数学基础。 这篇文章的主要贡献在于利用Banach压缩映射原理，为耗散型聚合方程组的Cauchy问题在特定的奇异性条件下提供了整体适定性的证明，这对进一步研究此类方程组的长期行为和数值模拟具有重要意义。