非线性规划详解：投资决策问题与数学模型

"该资源为‘算法第03章 非线性规划.pdf’，由WWW.DGOIN.COM上传，主要探讨了非线性规划的理论与应用，特别是其在投资决策问题中的实例解析。" 非线性规划是优化理论中的一个重要分支，它涉及到在目标函数或约束条件中含有非线性函数的最优化问题。与线性规划相比，非线性规划通常更加复杂，缺乏像线性规划中的单纯形法那样普适的解法。每个非线性规划问题可能需要特定的方法来解决，这取决于问题的具体结构和性质。 在非线性规划问题中，我们通常要寻找一组决策变量的值，使得目标函数达到最大值或最小值，同时满足一系列约束条件。这些约束可以是等式或不等式，而目标函数和/或约束函数至少包含一个非线性部分。非线性函数可以包括二次项、指数、对数、三角函数等形式。 以投资决策问题为例，一个企业面临多个投资项目，每个项目有不同的投资成本和预期收益。企业需要决定投资哪些项目，以最大化投资收益与总投资额的比例。这个问题可以通过设定决策变量 xi 来表示是否投资第 i 个项目的决策（若投资则 xi=1，否则 xi=0），然后建立目标函数和约束条件来表达。目标函数为收益与投资的比率，即 max(Q)，而约束条件包括投资总额不超过企业的总资金 A（即 ∑i xi ai ≤ A）和至少投资一个项目（即 ∑i xi ≥ 1）。这个例子展示了非线性规划问题的一般形式，即 min/max f(x) s.t. gj(x) ≤ 0 (约束条件)，其中 x 是决策变量，f 是目标函数，gj 是约束函数。 非线性规划问题的求解通常需要数值方法，如梯度下降法、拟牛顿法、内点法或者全局优化算法如模拟退火法、遗传算法等。这些方法各有优缺点，适用于不同类型的非线性问题。例如，局部搜索方法如梯度下降法可能在多模态问题中陷入局部最优解，而非局部搜索方法虽然可能找到全局最优解，但通常计算量较大，且不能保证一定能找到全局最优。 非线性规划广泛应用于工程设计、经济管理、金融投资、生产调度等多个领域。理解和掌握非线性规划的理论与方法，对于解决实际问题具有重要的意义。