"《数理统计》书面作业答案包含了数理统计课程中的多个知识点,包括二项分布的极限定理、泊松分布的性质以及充分统计量和估计理论的应用。"
1. **二项分布的极限定理**:
在题目中提到的设定下,随机变量 \( Y_n \) 服从参数为 \( p \) 的二项分布,即 \( Y_n \sim B(n, p) \)。随着样本容量 \( n \) 趋向于无穷大,二项分布呈现出正态分布的特性。根据二项分布的中心极限定理,当 \( n \) 很大时,\( Y_n \) 的标准化版本趋向于标准正态分布。具体公式表示为:
\[
\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}} < x\right) = \Phi(x)
\]
其中,\( \Phi(x) \) 是标准正态分布的累积分布函数。这个定理在概率和统计中非常关键,它告诉我们即使原始数据遵循二项分布,其均值和方差的标准化版本可以近似为正态分布,这对于进行假设检验和置信区间的构建很有帮助。
2. **泊松分布的性质**:
题目中提到了泊松分布的性质,指出随机变量 \( T \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布,即 \( T \sim Poisson(\lambda) \)。在给定 \( T = t \) 后,对任意 \( n \) 个独立同分布的 \( X_i \),它们的和 \( S = \sum_{i=1}^n X_i \) 的条件分布与 \( \lambda \) 无关。这意味着 \( S \) 是 \( \lambda \) 的一个充分统计量,这是充分统计量概念的一个实例,表明 \( S \) 包含了关于 \( \lambda \) 的所有信息。充分统计量在统计推断中扮演着重要角色,因为它们可以简化问题并提供有效的估计方法。
3. **参数估计**:
题目讨论了总体 \( U_X \sim N(\theta, \theta^2) \),其中 \( \theta \) 是未知参数。根据均值和方差的性质,可以得到 \( E(X) = \theta \) 和 \( Var(X) = \theta^2 \)。基于样本均值 \( \bar{x} \) 和样本方差 \( s^2 \),我们可以构建估计量。例如,参数 \( \theta \) 的无偏估计为 \( \hat{\theta} = \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{n}} \),这里 \( n \) 是样本大小。这个估计量的方差为 \( \pi \theta^2/9 \),随着样本大小的增加,它会接近于 \( \theta \) 的真实值,因此 \( \hat{\theta} \) 是一致估计。此外,似然函数也被提及,它是参数估计的另一种重要工具,特别是在最大似然估计法中。
这些知识点展示了数理统计的核心概念,包括分布理论、极限定理和参数估计方法。在实际应用中,理解并掌握这些原理对于数据分析、假设检验和模型建立至关重要。