深度优先搜索(DFS)在树上问题的应用与解题策略

"这篇资源主要介绍了树的深度优先搜索（DFS）序及其在解决竞赛编程问题中的应用，适合OI（奥林匹克信息学）参赛者学习。文章通过实例展示了DFS序的概念，以及如何利用DFS序转化为序列问题，结合数据结构如ST表、树状数组或线段树来解决问题。同时，提到了几个具体的例题，包括子树权值求和和单点修改、区间查询的问题。" 树的DFS序是一种表示树中节点顺序的方法，通过深度优先搜索遍历树的每一个节点，得到一个线性的序列。在这个例子中，给定的树的DFS序为124783569。这个序列的特点是每个节点的子树在序列中表现为连续的区间，例如节点1的子树在序列中的区间为[1, 9]，节点2的子树为[2, 5]，以此类推。 代码实现部分展示了如何通过递归的DFS函数来获取每个节点的起始和结束位置。`start[x]`记录节点x在DFS序中的起始位置，`end[x]`记录其结束位置。`dfs_clock`是一个全局变量，用于追踪当前遍历到的节点位置。 DFS序的主要作用在于将树上的问题转换为线性序列上的问题，使得我们可以利用序列上的数据结构来解决复杂的问题。例如，可以使用前缀和来快速求解节点子树的权值和，或者使用树状数组、线段树等数据结构来支持动态的区间查询和修改。 在例题一中，给定一棵树和权值，要求对每个节点x求其子树的权值和。通过DFS序和前缀和，我们可以快速计算出答案，如节点2的子树和等于序列中索引5处的前缀和减去索引1处的前缀和。 例题二引入了单点修改和查询的操作。同样利用DFS序，但这次使用树状数组来支持快速的单点修改和区间查询，实现对节点x子树权值和的询问。 例题三虽然没有给出完整的问题描述，但可以推测仍然是关于树上节点权值的查询和修改，可能涉及到更复杂的操作，可能需要使用到可持久化的数据结构，如可持久化线段树，来处理历史版本的数据查询。 理解并掌握树的DFS序及其应用对于解决竞赛编程中的树相关问题具有很大的帮助，尤其是在处理大量查询和修改操作时，能够显著提高算法的效率。