随机应用与过程解析：公共汽车站问题及通信系统模型

"《随机应用及其过程》陆大絟的习题答案，包含清晰的PDF文档，涉及概率论与随机过程的应用。" 在《随机应用及其过程》这本书中，习题解答涵盖了概率论和随机过程的基础概念。第一题讨论了一个公共交通系统中的随机模型。在这个模型中，每秒有一位乘客到达车站，乘客选择A或B车的概率分别为1/2。题目要求计算在第n秒时，A车上乘客数量η的二项分布以及A车出发时间n的概率分布。 对于第一部分，要找到在n秒时A车上乘客数η为k的概率P(n,η=k)，这是一个二项分布问题，因为每个乘客独立地以概率1/2选择A车。利用二项分布公式，我们可以得到： P(n,η=k) = C(n,k) * (1/2)^k * (1/2)^(n-k) 其中C(n,k)是组合数，表示从n个独立事件中成功k次的组合方式。 第二部分是求A车出发时间n的概率分布。A车在有10位乘客时才会出发，这意味着我们需要计算在第n秒时恰好有9位乘客登上A车的概率P(A|n-1=9)以及在第n秒又有一位乘客选择A车的概率P(第n个乘客上A车)。将这两个概率相乘即可得到A车在第n秒出发的概率： P(n) = P(A|n-1=9) * P(第n个乘客上A车) = P(n-1,η=9) * (1/2) 通过这样的计算，可以构建出A车出发时间n的概率分布。 第二题涉及一个采用脉宽调制的通信系统，其脉冲宽度是随机的且在(0,T)内均匀分布，每个脉冲的宽度独立。要找到随机过程ξ(t)的一维概率密度函数fξ(t)，由于脉宽是均匀分布的，所以对于任何时间t，随机变量ξ(t)的密度函数fξ(t)会在(0,T)区间内均匀分布，其值为： fξ(t) = 1/T, 对于0 < t < T fξ(t) = 0, 其他情况 这意味着在每个脉冲周期内，任意时刻t的密度都相同，而在周期外为零。 这两题展示了随机过程在实际问题中的应用，包括二项分布的计算以及连续随机变量的概率密度函数的确定，这些都是概率论与随机过程中的核心概念。通过这样的习题，读者可以加深对随机变量性质和随机过程理论的理解。