最优化方法：DFP算法与线性规划解析

"最优化方法-研究生课程讲解，包含DFP算法的性质，最优化理论与应用，学习方法，参考书籍及实例" 最优化方法是研究生阶段的重要课程，它探讨如何在给定条件下找到最佳决策，广泛应用于信息工程、经济、管理、交通、国防和科学研究等多个领域。课程内容涵盖经典与现代的最优化方法，如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划，以及随机规划、模糊规划等现代方法。 DFP算法，全称为Davidon-Fletcher-Powell算法，是一种用于无约束最优化的迭代算法。在处理正定二次函数时，DFP算法展现出以下特性： 1. 共轭方向法：DFP算法每次迭代选取的搜索方向是Hessian矩阵（Hn）的逆（G-1）与梯度的乘积，这确保了方向的共轭性质，有助于快速收敛。 2. 最多n次收敛：对于正定二次函数，DFP算法最多经过n次迭代即可找到全局最小值。这里的n是变量的数量。 3. 比拟Newton方程：DFP算法满足一个比Newton方法更强的条件，即在每一步迭代中，迭代点处的Hessian矩阵近似满足Newton方程，即Hkyi = si，其中ki表示第i步的迭代点，yi是相应的步长，si是梯度。 对于一般函数，DFP算法具有以下性质： 1. 正定矩阵保持：即使在非二次函数情况下，DFP算法产生的Hk矩阵也保持正定，保证了算法的下降性质，即每次迭代都能降低目标函数的值。 2. 超线性收敛：DFP算法在某些条件下能实现超线性收敛，即随着迭代次数增加，函数值的下降速度越来越快。 3. 对于凸函数的整体收敛：如果目标函数是凸的，DFP算法将确保全局收敛，即无论初始点在哪里，算法都将收敛到全局最小值。 4. 计算复杂性：每次迭代大约需要3n^2 + O(n)次乘除运算，不包括一维搜索的额外计算。 学习最优化方法需要认真听讲，课后复习并完成练习，同时广泛阅读参考书，将理论知识与实际问题相结合，通过数学建模和算法解决实际问题。推荐的参考书包括解可新、韩健、林友联的《最优化方法》以及蒋金山、何春雄、潘少华等人的著作，它们提供了深入理解最优化思想、算法和应用的资源。 在实际应用中，如例1.1.1中的运输问题，最优化方法可以帮助设计运输方案，以最低的运费满足各个城市的需求。这类问题可以通过线性规划或其他优化算法来求解，体现出最优化方法在解决实际经济问题中的强大能力。