龙贝格公式在积分计算中的精度提升研究

"岳宇轩实验21是关于验证龙贝格公式对复合梯形公式精度提升的一个编程实验，由19慧与专业的学生岳宇轩在高云老师的指导下完成。实验旨在通过编程实践熟悉龙贝格公式和复合梯形公式，并对比它们的精度。实验中定义了一个积分函数，并使用龙贝格算法进行积分值的计算和加工，以提高积分精度。" 在数学和数值分析中，复合梯形公式和龙贝格公式是两种常用的数值积分方法。复合梯形公式是通过将积分区间不断细分，用梯形面积来近似原函数的积分，其基本思想是将连续区间分成多个小段，每段使用梯形法则进行近似，然后将所有小梯形的面积相加得到整体的近似值。而龙贝格公式则是基于复合梯形公式，通过对梯形公式的结果进行修正，以提高积分的精度。 复合梯形公式的一般形式为： \[ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx T_n = \frac{h}{2}(f(a) + f(b) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)) \] 其中，\( h = \frac{(b-a)}{n} \) 是每个子区间的长度，\( x_i = a + ih \)，\( n \) 是子区间数量。 龙贝格公式则进一步利用了辛甫生公式（Simpson's rule）和科特斯公式（Cotes' rule），通过迭代和误差修正来提高精度。在实验中，龙贝格算法先计算了不同阶的复合梯形公式结果T1到T4，然后通过以下方式计算辛甫生公式S1到S3和科特斯公式Ct，C2，最终得出龙贝格公式R的值： \[ S_k = T_{k+1} + \frac{T_{k+1}-T_k}{2^k-1} \] \[ C_t = S_2 + \frac{S_2-S_1}{2^2-1} \] \[ R = C_t + \frac{C_t-C_1}{2^2-1} \] 实验过程中的具体代码实现包括定义积分函数`func`，计算二分点函数值之和的`sum`函数，以及执行龙贝格算法的`Romberg`函数。在`Romberg`函数中，首先计算了不同阶的复合梯形公式值，然后通过上述公式计算辛甫生和科特斯公式，最后得到龙贝格公式的积分近似值。 通过这样的实验，学生可以直观地理解这两种积分方法的差异，并通过实际计算验证龙贝格公式的精度优势，尤其是在处理复杂或难以解析积分的情况下，龙贝格公式通常能提供更快的收敛速度和更高的精度。