数值计算方法习题详解：误差分析与近似数精度

本资源是一份关于数值计算方法的课后习题答案，涵盖了误差分析、有效数字、近似值误差限、精确度要求以及特定问题求解等内容。以下是部分知识点的详细解析： 1. 误差计算：习题1和2着重于计算相对误差，即一个数值与其真实值之比的绝对值。例如，如果已知x的真实值和近似值之间的关系，可以通过相对误差公式计算[pic]的误差，如[pic]的误差是[pic]的函数。 2. 有效数字：在第3题中，习题涉及判断近似数的有效数字数量，比如[pic]有5位有效数字，[pic]只有2位，理解并确定有效数字对于数值精度的表示至关重要。 3. 误差限：题目4要求根据给定数值确定近似值的误差限。通过公式（3.3）计算得出[pic]、[pic]和[pic]的误差范围。 4. 精度控制：习题5涉及如何控制球体积的相对误差，当允许的误差限为1%时，计算半径R的相对误差限制。 5. 递推公式与误差：在第6题中，分析了使用递推公式计算时，由于取的近似值位数有限，可能导致的计算误差，如[pic]的误差估计为[pic]。 6. 方程求根：第7题要求找到方程的根，需保证至少有四位有效数字，通过比较近似值与精确值的精确度来确定。 7. 无穷大下的极限：对于无穷大下的数值计算，习题9解释了当N足够大时，如何处理两个相近数的差，通过设置近似值和精确值的形式，求得[pic]的近似表达式。 8. 测量精度：第10题讨论了如何通过测量保证正方形面积的精度，当误差要求为1[pic]时，给出了边长的精确度限制。 这些习题旨在帮助学生理解和掌握数值计算中的基本概念和技巧，以及如何应用这些概念解决实际问题。通过解答这些问题，学生可以提高他们在数值计算方面的技能，并学会如何评估和控制误差。