ACM模板：计算几何基础与向量操作详解

ACM模板是算法竞赛编程中常用的一种编程风格和结构模板，适用于解决数学建模和计算几何问题。在这个模板中，我们首先定义了两个关键的数据结构：`Point` 和 `Vector`。`Point` 结构体用于表示二维空间中的点，它包含两个成员变量 `x` 和 `y`，并且提供了构造函数、加法、减法以及比较操作符，如 `<`，用于排序和判断点的顺序。`Vector` 是一个二维向量，也包含 `x` 和 `y` 成员，提供加法、乘法、除法、点积（`Dot`）、长度（`Length`）、角度计算（`Angle`）、叉积（`Cross`）以及向量旋转（`Rotate`）等运算。 - `Point` 的构造函数接受两个可选参数，用于初始化坐标，如果没有提供，默认值为 `(0, 0)`。 - `Vector` 类型别名使得向量操作更加方便，同时定义了向量之间的加法、标量乘法、除法以及点与点之间的减法操作。 - `operator<` 定义了按坐标值进行比较的规则，当 `x` 值不同或者 `x` 相同但 `y` 值更小时返回 `true`。 - `dcmp` 函数用于处理浮点数的精度问题，通过判断绝对值是否小于一个极小的正数 `eps` 来确定两个值是否相等。 - `operator==` 检查两个点是否完全相同，通过比较 `x` 和 `y` 的差值是否在精度允许范围内。 - `Angel` 计算向量与 x 轴正方向之间的角度，使用反正切函数 `atan2`。 - `Dot` 计算两个向量的点积，即对应坐标的乘积之和。 - `Length` 计算向量的模，即向量的长度或大小。 - `Angle` 计算两个向量之间的夹角，用余弦定理求解，涉及向量点积和长度的除法。 - `Cross` 计算两个向量的叉积，对于计算面积非常有用，对于二维空间，叉积的绝对值等于对应三角形的面积。 - `VectorRotate` 实现了向量绕原点逆时针旋转指定弧度的功能，这是在三维空间中处理旋转问题时常用的函数。 这个模板适用于解决涉及计算几何、点线面交集、距离判断、角度计算等基本问题的ACM题目。使用时需要注意根据实际问题调整代码细节，并确保对浮点数精度处理的恰当性。在ACM竞赛中，清晰的代码结构和高效的操作方法至关重要，因此在使用模板时，不仅需要熟悉这些函数，还要学会如何优化和调用它们以达到最优的性能。