MATLAB实现LU分解解线性方程组

"数值计算方法matlab:LU三角分解法代码及注释" 在数值计算领域，LU分解是一种常用的算法，用于高效求解线性方程组。它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A = LU。这种分解方法特别适用于重复求解具有相同系数矩阵的不同线性方程组的情况，因为只需要一次LU分解，后续求解可以更快地完成。 给定的MATLAB代码是实现LU分解法的示例，适用于大二学生学习数值计算方法的上机作业。以下是对这段代码的详细解释： 首先，定义函数`lu_le(a,b)`，其中输入参数`a`是系数矩阵，`b`是常系数向量，输出包括L矩阵、U矩阵以及解向量`x`。 1. 初始化变量：创建零矩阵`y`作为中间结果，创建零矩阵`u`作为上三角矩阵，创建单位矩阵`l`作为下三角矩阵。同时，获取矩阵的行数`dim_n`和列数`dim_m`。 2. 检查矩阵的行列是否相等，如果不同，则提示错误信息。然后检查系数矩阵的行列式是否为0，若为0则无法进行LU分解。 3. 使用Doolittle分解法进行LU分解。首先，设置U的第一行等于A的第一行，L的第一列元素为1，其余位置为0。 4. 对于r从2到`dim_n`（不包括`dim_n`），计算当前行的元素： - 计算`sumt_rr`，即上一行的元素与当前行上三角部分的乘积之和。 - 更新U的对角线元素`u(r,r)`，即减去`sumt_rr`。 - 遍历r之后的所有列，计算L的非对角线元素和U的非对角线元素。 5. 解线性方程组，首先通过L矩阵计算中间结果`y`，然后通过U矩阵反向求解得到最终解`x`。 6. 主程序`clearall;`清空工作空间，`A=[0.40960...`是系数矩阵的一部分，这部分在给出的文本中未完整显示，实际应用中需要提供完整的矩阵数据。 这段代码展示了如何在MATLAB中实现LU分解法求解线性方程组的基本步骤，对于初学者来说，通过这个例子可以理解LU分解的工作原理，并能应用于实际问题的求解。在实际编程时，应确保输入矩阵的维度正确，且注意矩阵的非奇异性，即行列式不能为0，否则无法进行LU分解。