图论入门：树、连通度与最小生成树详解

图论讲义是一本非常适合初学者入门的教材，由高随祥教授讲解，针对基础数学、应用数学、计算数学等专业的硕士学位研究生设计，也可供其他多个理科和工科专业研究生选修。课程内容包括图论与网络流理论的基础知识，如图的基本概念，二部图及其性质，图的同构，关联矩阵与邻接矩阵，以及路径、圈、连通性、树和最小生成树等核心概念。 在第一章，学生将学习到图的基本定义，包括图的构成元素如顶点和边，以及它们之间的关系。二部图的讨论将引导学生理解图的特殊结构，而图的同构则涉及如何识别和比较不同图的相似性。此外，关联矩阵与邻接矩阵是两种常用的图表示方法，有助于理解图的数学表示。 接着，课程深入探讨连通性，通过割点、割边和块的概念来分析图的组成部分，区分边连通性和点连通性，并介绍连通度，如Whitney定理，这对于设计可靠通信网络具有实际意义。学生们会学习如何找出图中的最短路径，以及生成树和最小生成树的概念，这些是理解和优化网络连接的关键。 第二章进一步扩展到图的连通性，包括更深入的分析方法和问题，如寻找图中不包含断开部分的路径。这部分内容对于理解和解决实际问题，如网络设计和路由规划，具有重要作用。 后续章节如匹配问题、欧拉图与哈密尔顿图，涵盖了图中路径的完整性和循环的特殊性质，以及与之相关的经典问题，如中国邮递员问题和旅行商问题。支配集、独立集、覆盖集和团的概念将帮助学生掌握图的结构特征和组合优化策略。 图的着色问题部分，包括点着色和边着色，是图论中的一个重要分支，其中著名的四色猜想被提及，同时还会介绍色多项式和色数的应用，这些都是色彩理论和图像处理等领域的重要工具。 最后，课程触及网络流理论的核心内容，如有向图和网络的基本构造，以及最大流最小割定理和求解最大流的算法。网络流理论是解决诸如物流、电力分配等问题的关键，通过最小费用流和最小费用最大流等内容，学生将学会如何运用理论解决实际问题。 参考书目丰富，涵盖了多部经典的图论与网络流教材，为学生提供了深入学习和进一步研究的资源。考核方式强调理论与实践相结合，平时成绩和期末闭卷笔试相结合，全面考察学生对理论知识的掌握和应用能力。 这门课程不仅为理论研究打下坚实基础，也提供了实际应用中解决复杂问题的工具，是图论和网络流理论学习者的理想教材。