运筹学线性规划详解：图解法与单纯形法

该文档是关于大学运筹学课程的知识点总结，主要涵盖了线性规划问题的求解方法，包括图解法和单纯形法，以及线性规划问题与其对偶问题之间的关系。 运筹学是一门应用数学学科，它在解决实际问题中扮演着重要角色，特别是在线性规划领域。线性规划是优化问题的一种，目标是在满足一系列线性约束条件下最大化或最小化一个线性目标函数。 1. 图解法是求解线性规划问题的直观方法，适用于二维或三维问题。通过对可行域的图形表示，可以找出最优解，这可能是一个顶点、边或内部点。问题可能是惟一最优解、无穷多最优解、无界解或者无可行解，具体取决于可行域的形状和目标函数的走向。 2. 标准形式的线性规划问题包含非负变量约束，并将所有不等式转换为等式，使得问题更容易用单纯形法解决。单纯形法是一种迭代算法，通过在可行域的顶点之间移动来寻找最优解。步骤包括标准化问题、选择初始可行解、进行最优性检验并进行初等行变换，直至找到最优解。 3. 对偶问题与原线性规划问题密切相关，它们的目标函数值之间存在弱对偶性和强对偶性。弱对偶性表明，原问题的任何可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界，反之亦然。强对偶性指出，如果两个问题都有可行解，那么它们都有最优解，且最优解的目标函数值相等。互补松弛性是强对偶性的关键性质，它表明在最优解中，约束条件和其对偶变量的值有特定的对应关系。 4. 影子价格是线性规划中的一个重要概念，它是资源的边际成本，反映了在当前情况下增加或减少单位资源对目标函数的影响。影子价格的变化反映了资源需求和供应的变化，它不是市场的固定价格，而是根据具体情境动态变化的机会成本。 运筹学的线性规划工具对于管理和决策制定至关重要，因为它能够帮助我们理解如何在有限资源下最大化效益。图解法和单纯形法是解决问题的有效工具，而对偶理论则为我们提供了更深入的理解和优化策略。通过掌握这些知识点，学生和专业人士能够更好地应用运筹学解决实际生活中的各种优化问题。