最小二乘法辨识原理与递推算法

"本文主要介绍了最小二乘法在辨识系统模型中的应用，特别是针对单输入-单输出系统的参数估计。内容涵盖了离线辨识和在线辨识的概念，并且提到了递推最小二乘法作为在线辨识的一种方法。文中讨论了线性定常系统的差分方程模型，以及如何通过观测数据来估计系统的参数。" 在控制系统的设计和分析中，最小二乘法是一种常用的参数估计技术。它用于确定系统模型的参数，以使实际观测数据与模型预测之间的误差平方和最小。在单输入-单输出（SISO）线性定常系统中，这个过程通常涉及到解一组线性方程或矩阵运算。 差分方程是描述系统动态行为的基本工具。例如，一个简单的线性定常系统可以用如下差分方程表示： \[ x_{k+1} = a_1 x_k + a_2 x_{k-1} + \cdots + a_n x_{k-n+1} + b_1 u_k + b_2 u_{k-1} + \cdots + b_m u_{k-m+1} + v_k \] 其中，\( x_k \) 是系统的状态变量，\( u_k \) 是输入信号，\( y_k \) 是输出信号，\( v_k \) 是随机干扰，\( a_i \) 和 \( b_j \) 是系统参数。目标是通过观测 \( (u_k, y_k) \) 对来估计这些参数。 最小二乘法的基本思想是找到一组参数，使得所有观测数据点的残差平方和最小。在离线辨识中，所有的观测数据会在一次处理中被考虑，以计算出最优参数。而在在线辨识，也称为递推最小二乘法（RLS），参数估计是连续进行的，每次新获得一个观测数据点，就会更新参数估计。 递推最小二乘法公式如(14-88)至(14-95)所示，提供了动态更新参数的方法，这种方法适用于实时监控系统性能或者在数据流不断到来的情况下进行参数估计。递推最小二乘法的优势在于其计算效率高，可以有效地处理大量数据。 对于含有测量误差的情况，需要在估计过程中考虑这一因素，以确保参数估计的准确性和鲁棒性。假设随机干扰和测量误差都是均值为零、相互独立的随机过程，那么可以通过修正的最小二乘方法来减小它们的影响。 最小二乘法辨识是识别系统模型的关键步骤，特别是在已知系统结构但未知参数的情况下。递推最小二乘法则是在线辨识中的有效工具，能够实时地更新参数估计，适应不断变化的系统状态。这种技术广泛应用于各个领域，如水箱液面控制系统、导弹稳定系统控制等复杂动态系统的建模和控制。