动态规划解决：迷宫统计中障碍物概率计算

在本资源中，我们讨论的是关于动态规划在迷宫统计问题中的应用，题目来自于《算法艺术与信息学竞赛》的一系列ACM题目。具体来说，是第45道题，名为"UVa10531"——迷宫统计。迷宫是由m行n列组成的，其中每个格子独立的概率p决定了它是否成为障碍物。玩家需要从左上角出发，按照东南西北的方向移动，目标是到达右下角，且迷宫需有解。如果生成的迷宫无解，程序会重置。 这个问题的核心知识点是动态规划，特别是通过状态转移方程来求解。这里涉及的状态转移包括： 1. **状态定义**：对于子串i到j，我们需要找到使其成为有效规则序列所需的最少括号数，用变量d[i,j]表示。 2. **状态转移方程**： - 当子串S的结构为'(S')'或'[S']'时，表示这是一个封闭的循环，此时需要考虑内部子串的最小添加括号数，即d[i+1,j-1]。 - 如果S的形式为'(S'或'[S']'，则可能需要额外一个闭合括号来结束这个结构，因此d[i+1,j] + 1。 - 对于只包含开放括号的结构'S')或S''，则需要考虑内部子串和外部的连接，所以d[i,j-1] + 1。 - 当子串长度大于1时，可能需要分别计算两个子串的最小括号数并相加，即d[i,k] + d[k+1,j]。 3. **优化策略**：在实际求解过程中，需要迭代遍历所有子串，利用已计算出的子问题结果更新当前状态，最终得到整个迷宫中每个格子成为有解迷宫障碍物的概率。 解决此类问题的关键在于理解状态之间的依赖关系，并利用动态规划的优化方法，避免重复计算，提高效率。同时，由于题目要求的是概率计算，这可能涉及到将每个格子被选为障碍物的概率与状态转移中的决策联系起来，以便得出每个格子最终作为障碍物的概率。这个题目既考察了动态规划算法的设计和实现，也考验了解决实际问题的能力，包括概率理解和问题抽象。