频率抽取FFT算法解析与Python实现

"3 频率抽取FFT算法-python tornado 中文教程" 本文主要讲解了3频率抽取FFT（快速傅里叶变换）算法，并以Python编程语言和tornado框架为背景进行阐述。频率抽取FFT是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）的高效算法，尤其适用于处理具有特定对称性的序列。 首先，算法推导中提到，假设序列的点数为N=2^M，其中M是正整数。将输入序列分成前半部分和后半部分，但不是简单的偶数和奇数分割。N点DFT可以被表示为两个部分的和： X(k) = Σ[0, N-1] x(n) * W_nk_N = Σ[0, N/2-1] x(n) * W_nk_N + Σ[N/2, N-1] x(n) * W_nk_N 这里的W_nk_N表示DFT的复指数因子，而频率抽取FFT的关键在于使用W_nk_N而不是W_nk_N/2，因此这不是N/2点DFT。由于W_N/2_N = -1，我们可以得到： X(k) = Σ[0, N/2-1] x(n) + (-1)^k * x(n+N/2) * W_nk_N 根据k的奇偶性，X(k)可以分为两部分： X(2r) = Σ[0, N/2-1] x(n) + x(n+N/2) * W_2nr_N X(2r+1) = Σ[0, N/2-1] x(n) - x(n+N/2) * W_n(2r+1)_N 第一部分X(2r)是前半部分和后半部分输入之和的N/2点DFT，第二部分X(2r+1)是前半部分和后半部分输入之差再乘以W_n_N的N/2点DFT。 为了简化算法，我们定义两个新的序列： x1(n) = x(n) + x(n+N/2) x2(n) = x(n) - x(n+N/2) * W_n_N 这样，原序列就可以通过x1(n)和x2(n)的DFT来计算，大大减少了计算量，这就是频率抽取FFT的基本思想。 在数字信号处理领域，离散傅里叶变换及其快速算法（如FFT）是核心内容，它们在信号分析、滤波器设计等方面有着广泛的应用。为了更好地理解和应用这些理论，通常需要掌握数字信号处理芯片的工作原理以及相关的开发工具。 本书《数字信号处理及应用》详细讨论了离散时间信号与系统的基本概念、离散傅里叶变换和FFT，以及数字滤波器的设计方法。适合于高等院校理工科类相关专业本科生作为教材，也适合作为工程技术人员的自学参考书。书中包含丰富的例题和习题，旨在帮助读者深入理解并掌握数字信号处理的理论和实践。