线性系统理论：矩阵特征分析与系统响应

"南航江驹线性系统理论习题及答案" 这些习题和答案来自南京航空航天大学的研究生课程《线性系统理论》，由江驹教授讲授。本资源包含一系列与线性系统理论相关的数学问题，涵盖矩阵理论、特征值与特征向量、特征多项式、最小多项式、矩阵运算、状态空间模型、脉冲响应和传递函数等核心概念。 1-1 题目涉及到矩阵的特征多项式和特征向量的计算。对于一个对角线上元素为 \( a_i \) 的 \( n \times n \) 矩阵 \( A \)，其特征多项式可以通过 \( det(\lambda I - A) \) 计算，其中 \( \lambda \) 是特征值，\( I \) 是单位矩阵。题目中要求证明特定的特征多项式形式，并给出特征值对应的特征向量。 1-2 题目讨论了矩阵 \( A \) 的特征值与矩阵 \( f(A) \) （\( f \) 是一个标量函数）之间的关系。如果 \( \lambda \) 是 \( A \) 的特征值，那么 \( f(\lambda) \) 必须是 \( f(A) \) 的特征值。 1-3 题目要求计算特定形式的矩阵的特征多项式和最小多项式。特征多项式可以用来了解矩阵的性质，而最小多项式则能揭示矩阵的幂次关系。 1-4 题目给出了矩阵 \( A \) 并要求计算其转置 \( A^T \) 和 \( e^{At} \)。这涉及到了矩阵指数函数，它是线性系统动态分析中的重要工具。 1-5 题目证明了当 \( D \) 可逆时，矩阵乘积 \( A \)，\( B \) 和 \( C \) 的行列式关系。这个定理在处理线性系统的代数方程组时非常有用。 1-6 题目探讨了 \( p \times q \) 和 \( q \times p \) 矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的行列式乘积 \( AB \) 和 \( BA \) 的关系。这个结果有助于理解矩阵乘法的性质。 1-7 题目涉及线性常系数微分方程的解，要求求出基本解阵和状态转移矩阵。这是线性系统理论中的核心内容，用于描述系统的动态行为。 1-8 题目假设两个常值矩阵 \( A \) 和 \( B \) 满足 \( AB = BA \)，并要求求出矩阵 \( e^{At}Be^{-Bt} \) 的状态转移矩阵。这涉及到矩阵指数的性质及其在系统理论中的应用。 1-9 题目要求求解线性系统的脉冲响应阵和传递函数阵，这些都是分析线性时不变系统的关键工具，用于研究输入和输出之间的关系。 通过解答这些习题，学生可以深入理解和掌握线性系统理论的基本概念和方法，这对于进一步研究控制系统、信号处理和其他相关领域至关重要。